Rappelons que le potentiel vecteur obéit dans les conditions de jauge convenable à une équation de Poisson analogue à celle de l'électrostatique
et que donc par analogie avec le champ électrique créé par une distribution de charges
ou en passant à l'intensité électrique, en supposant
constant sur un circuit
d'élément de longueur
(formule qui redonne bien celle de Biot et Savart si on en prend le rotationnel).
Si on applique la deuxième formule du gradient qui dit que
pour toute surface
s'appuyant sur
(formule obtenue en multipliant scalairement à gauche par un vecteur \vec{a} constant puis en appliquant la formule de Stokes et celle du produit mixte, sachant que :
avec cette formule du gradient, donc, il vient
et en développant l'expression du gradient
en utilisant l'approximation du circuit élémentaire, avec
distance entre ce circuit à la position
et le point
où le potentiel vecteur est calculé, et
vecteur unitaire de ce même vecteur
en prenant garde au signe lors du calcul du gradient.
Cette dernière formule, élégante, est à rapprocher de celle donnant le potentiel électrostatique créé par un dipôle électrique.
En supposant que
(dipôle à l'origine du repère des sphériques) et en supposant que
est orienté suivant l'axe
, ce que nous pouvons toujours faire, il est alors facile d'établir :
puis de prendre le rotationnel de cette expression pour trouver
ou sous une forme plus compacte
formule à rapprocher du résultat obtenu en électrostatique.