Nous allons considérer le cas de deux ondes isochrones de même état de polarisation. Ces deux ondes proviennent de deux sources et et parviennent au point ou elles se superposent.

Figure 04 : Superposition de deux ondes en un point P d'un écran d'observation

Les ondes lumineuses provenant de et de ont pour expression en :

Il en résulte que le champ résultant en est la somme vectorielle de ces deux champs et s'écrit :

Ce champ a le même état de polarisation que les deux champs incidents. On peut ainsi constater que la polarisation peut donc être omise et que les champs électriques peuvent être assimilés dans un tel cas à des champs vibratoires scalaires.

Le carré du module du champ résultant est donc donné par :

Ce qui conduit à :

En appelant la différence de phase entre les deux ondes on voit que le module au carré du champ résultant en s'écrit :

Les deux ondes provenant des deux sources et interfèrent en et conduisent à un champ résultant qui peut varier en fonction de la différence de phase entre les deux ondes issues de et de . Lorsque les deux ondes arrivent en phase au point l'amplitude du champ est maximale et vaut . Si elles arrivent en opposition de phase en l'amplitude du champ est minimale et vaut .

L'intensité que l'on mesure à l'aide d'un détecteur est intégrée sur le temps de réponse du détecteur ce qui équivaut à faire la moyenne temporelle du carré du module du champ soit :

Dans cette expression, les crochets signifient que l'on réalise la moyenne de cette quantité sur l'intervalle de temps de mesure soit :

La moyenne d'une somme étant la somme des moyennes nous obtenons :

ce qui entraîne

Nous voyons donc que l'intensité résultant de la superposition de deux ondes dépend essentiellement de la valeur moyenne des fluctuations temporelles de la phase entre les deux ondes. Il y aura possibilité de voir des interférences entre les deux ondes si les fluctuations de phase ne varient pas aléatoirement dans le temps ce qui impose de disposer de sources synchrones.

Pour deux sources incohérentes, la différence de phase entre les deux sources varie continuellement dans le temps entre et . Les ondes issues des deux sources seront donc incohérentes entre elles après s'être propagées et sera donc une variable aléatoire. Il en résulte que le cosinus de cet angle varie entre 1 et -1 et qu'en moyenne dans le temps il vaut . Pour des sources incohérentes, l'intensité détectée est donc :

c'est à dire la somme des intensités provenant de chaque ondes.

Nous retiendrons donc que :

Figure 05 : Représentation de la différence de phase pour deux sources lumineuses synchrones

Si les sources sont synchrones la différence de phase est constante au cours du temps et la moyenne temporelle du cosinus est égale à :

Il en résulte que l'intensité mesurée n'est plus la somme des intensités de chaque onde mais :

(1)

Nous retiendrons donc que :

Nous allons maintenant étudier ce que l'on peut attendre de l'équation (1)

Nous venons de montrer que la superposition de deux ondes produit une intensité régie par l'équation (1)

Il nous faut maintenant exprimer la différence de phase entre les ondes arrivant en à l'instant . Cette différence de phase est la somme d'une différence de phase due à la propagation des ondes et d'une éventuelle différence de phase due à l'incohérence des sources.

Supposons que les ondes soient synchrones à la source, alors

Si les deux sources ont même intensité, l'intensité en devient

Pour des ondes planes se propageant dans la direction de l'axe nous avons

ce qui conduit à

L'équation (2) montre que selon la valeur de la différence de marche , l'intensité mesurée en peut être aussi bien :

• nulle si car dans ce cas et les ondes arrivent en en opposition de phase

• maximale et égale à si car dans ce cas et les ondes arrivent en phase en .

Dans le premier cas nous dirons que les ondes interfèrent de façon destructive en alors que dans le second cas elles interfèrent de façon constructive.

Figure 06

Représentation schématique de la superposition de deux ondes en différents points d'un écran. Selon la position de ce point les ondes issues des sources et arrivent en phase, en opposition de phase, en quadrature ou déphasées de façon quelconque en .

Il apparaît ainsi une propriété remarquable de cette approche qui est la suivante :

Cette propriété peu banale constitue le phénomène d'interférences lumineuses. L'observation expérimentale d'un tel phénomène prouve la nature ondulatoire de la lumière. En d'autres termes, si la lumière est bien une onde nous devons donc pouvoir le vérifier expérimentalement en réalisant des interférences.

Il faut rendre hommage ici à Young et à Fresnel qui au 19^ème siècle ont mis pour la première fois en évidence la nature ondulatoire de la lumière. Newton avait au 17^ème siècle réfuté cette hypothèse et il était admis par la communauté scientifique de l'époque que la lumière avait une nature corpusculaire plutôt qu'ondulatoire. Nous allons voir maintenant comment Young s'y est pris pour mettre en évidence le phénomène des interférences lumineuses.