Énoncé
Un mobile de masse
est dans un ascenseur se déplaçant verticalement par rapport à un référentiel
supposé galiléen.
On résonnera en travaillant dans le référentiel non galiléen
lié au sol de l'ascenseur. L'axe
est pris dans le sens de la verticale ascendante.
Déterminer la force de contact de l'ascenseur sur le mobile.
En déduire la condition sur le mouvement de l'ascenseur pour éviter que le mobile ne décolle du sol de l'ascenseur.
Déterminer la position du mobile dans le référentiel
lié au sol.
Déterminer l'accélération du mobile par rapport à
puis par rapport à
.
Faire le bilan des forces s'appliquant sur le mobile.
Appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le repère galiléen
.
En déduire l'expression du principe fondamental de la dynamique dans le repère non galiléen
.
1. En appelant
la position du centre de gravité du mobile, le vecteur position du mobile dans le repère
est :
. Il peut être décomposé en utilisant le centre
du repère
lié à l'ascenseur :
, faisant ainsi apparaître le vecteur position
du mobile dans le repère
et le vecteur position de l'ascenseur
. Le solide étant indéformable, le vecteur
est constant tant que le mobile ne décolle pas du sol de l'ascenseur.
On obtient l'accélération en dérivant deux fois le vecteur position dans le repère choisi. Ainsi l'accélération du mobile par rapport au référentiel
est
.
Alors que l'accélération du mobile par rapport au référentiel
est quant à elle :
puisque le vecteur
est constant tant que le mobile reste collé au sol.
Remarque :
Remarquons que si le mobile reste collé au sol de l'ascenseur, alors le mobile et l'ascenseur ont la même accélération.
En effet,
En l'absence de rotation, la composition des accélérations s'écrit donc simplement :
Bilan des forces agissant sur le mobile
Il y a deux forces extérieures s'appliquant sur le mobile :
Le Poids
dû à l'interaction gravitationnelle entre le mobile et la Terre. Le poids est vertical descendant et de module
où
est l'accélération de la pesanteur (supposée ici constante), soit finalement
.
La réaction
de l'ascenseur sur le mobile. La réaction est verticale ascendante strictement :
avec
.
Application du principe fondamental de la dynamique dans
Le repère
étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique stipulant que la somme des forces extérieures s'appliquant sur le mobile
est égale au produit de sa masse et de son accélération par rapport au repère galiléen
soit :
L'égalité vectorielle (7) n'a qu'une seule composante non nulle sur l'axe
; elle est équivalente à l'égalité scalaire issue de sa projection dans la direction
soit
Application du principe fondamental de la dynamique dans
Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le repère
non-galiléen, il faut ajouter aux forces extérieures déjà déterminées
et
, la force d'inertie issue du mouvement d'entraînement de l'ascenseur :
. Le principe fondamental de la dynamique nous affirme alors que la somme des forces extérieures s'appliquant sur le mobile
, augmentée des forces d'inertie, est égale au produit de la masse et de l'accélération du mobile par rapport au repère non galiléen
; soit
Encore une fois, cette équation vectorielle se ramène à l'équation scalaire
par projection dans la direction
.
2. Analyse de l'équation du mouvement
Remarquons tout d'abord que tant que le mobile reste collé au sol de l'ascenseur, la grandeur
n'est pas une variable mais un paramètre puisqu'elle correspond à l'accélération de l'ascenseur qui est imposée de l'extérieur.
Ainsi, la seule inconnue du problème est ici la force de réaction de l'ascenseur sur le mobile
qui nous est donnée par l'équation du mouvement.
Lorsque l'ascenseur se déplace à vitesse constante
, la réaction compense le poids du mobile
.
Si l'ascenseur accélère
la réaction augmente
, ce qui est à l'origine de la sensation d'écrasement au démarrage de l'ascenseur.
À l'opposé, si l'ascenseur décélère
la réaction diminue
, ce qui est à l'origine de la sensation de légèreté à l'arrivée de l'ascenseur.
L'analyse précédente est valable tant que le mobile reste collé au sol de l'ascenseur, c'est-à-dire tant que la réaction
est positive.
La condition de décollement est l'annulation de la force de réaction, ce qui se produit lorsque l'accélération de l'ascenseur est égale en norme à l'accélération de la pesanteur :
.
Dans ce cas, il faut reprendre l'analyse précédente en considérant une accélération relative non nulle.