Le référentiel étant non galiléen, la première étape pour y appliquer le principe fondamental de la dynamique est la détermination des forces d'inertie.

Perle sur une tige horizontale

Pour déterminer les forces d'inertie, on peut calculer l'accélération de la perle par rapport au référentiel galiléen .

• Déterminer la position de la perle dans le repère lié au sol, puis dans le repère tournant lié à la tige.

• Déterminer la vitesse et l'accélération de la perle par rapport au référentiel puis par rapport au référentiel .

• En comparant les accélérations par rapport aux deux référentiels, identifier les forces d'inertie dans le repère .

• Faire un bilan des forces dans le référentiel puis appliquer le principe fondamental de la dynamique pour obtenir l'équation du mouvement de la perle dans le référentiel .

Référentiels non-galiléens. Quantité de mouvement : NLP_C_M01_G03

L'étude d'un système mécanique peut être décomposée de façon méthodique.

En premier lieu, il est nécessaire de "visualiser" le système étudié. Cela permet, outre le fait de vérifier que l'on a bien compris le système (que l'on a bien lu l'énoncé), de se faire une idée du mouvement et donc de la solution du problème. Il faudra bien entendu garder en tête cette solution tirée de notre "bon sens" pour la comparer à la solution dérivée mathématiquement des équations du mouvement.

Une fois le système bien compris, on peut se lancer dans sa modélisation.

La première étape est le paramétrage, il faut définir des repères (poser des règles physiques) qui permettront de paramétrer le système, c'est-à-dire de définir de manière univoque la position du système à l'aide de grandeurs géométriques (distances et/ou angles).

Il y a, de manière générale, plusieurs façons de décrire la position d'un système, à chacune est associé un repère (cartésien, polaire etc.). Cependant il arrive fréquemment (notamment dans le cas d'un système possédant une géométrie simple) qu'un repère rende le paramétrage plus simple.

Les lois de la dynamique (principe fondamental de la dynamique ou théorème du moment cinétique) sont définies dans des référentiels galiléens, il est donc nécessaire d'identifier parmi les différents repères que l'on a pu poser ceux pouvant constituer de tels référentiels.

Une fois cela fait, on doit identifier les différentes forces qui s'appliquent sur le système étudié puis on peut appliquer les théorèmes généraux qui conduisent à des relations vectorielles.

Soit on choisit de travailler dans un référentiel galiléen c'est-à-dire que les vitesses et les accélérations des constituants du système seront calculées par rapport à ce référentiel.

Soit on choisit de travailler dans un référentiel non-galiléen mais dans ce cas il faudra tenir compte des forces (ou pseudo-forces) d'inertie.

La dernière étape consiste à projeter la relation vectorielle obtenue dans un repère afin d'obtenir une série d'équations différentielles scalaires portant sur les paramètres du système puis de résoudre les équations (et de vérifier que la solution coïncide avec le "bon sens").

On pose le repère cartésien fixe et le repère tournant avec l'axe aligné avec la tige et le point pris sur l'axe de rotation.

1. Équation du mouvement de la perle :

   

2. Équation horaire de la perle par rapport à la tige :

   .

   Équation horaire du mouvement de la perle par rapport au sol :

   

3. Les composantes et de la réaction de la tige sur la perle sont :

   

1. L'étude se fait dans le plan horizontal.

La première étape de l'étude d'un système mécanique consiste à paramétrer le mouvement en plaçant les repères (ou bases) permettant de le décrire.

Pour cela, on pose le repère cartésien et le repère tournant avec l'axe aligné avec la tige et le point pris sur l'axe de rotation.

a) Position de la perle

La position de la perle P dans le repère est donnée par le vecteur position :

L'axe étant orthogonal à la tige, on a , le vecteur position n'a donc qu'une composante non nulle dans la base . En définissant l'angle on obtient la relation de passage entre les composantes du vecteur position dans les deux repères.

Perle sur une tige horizontale

b) Vitesse et accélération de la perle par rapport au référentiel fixe

La vitesse de la perle par rapport au référentiel fixe s'exprime soit dans le repère fixe , soit dans le repère tournant ,  :

De même l'accélération de la perle par rapport au référentiel fixe s'exprime soit dans le repère fixe soit dans le repère tournant  :

Les relations (1) et (2) permettent de faire le lien entre les expressions de la vitesse et de l'accélération exprimées dans les repères et . Le choix du repère pour exprimer les vecteurs n'est qu'une convenance.

Vitesse et accélération de la perle par rapport au référentiel tournant

Vitesse et accélération de la perle par rapport au référentiel tournant sont obtenues en considérant fixes les vecteurs de base du repère ,  :

On remarque ainsi que :

avec l'accélération d'entraînement et l'accélération de Coriolis. L'accélération d'entraînement correspond à l'accélération de la perle immobile par rapport à la tige en rotation, ou encore à l'accélération du point de la tige où se trouve la perle :

 ; ici la composante sur est nulle puisque la vitesse de rotation est constante, ne subsiste donc qu'une accélération centripète. L'accélération de Coriolis rassemble les termes restants .

c) Identification des forces d'inertie

Le repère n'est pas galiléen, pour mettre en suivi le principe fondamental de la dynamique dans ce repère il faut tenir compte des forces d'inertie. En effet, en travaillant dans le repère , on aurait écrit :

soit en utilisant (3) :

L'expression du principe fondamental de la dynamique dans le repère est donc :

où est la force d'inertie d'entraînement centrifuge et la force de Coriolis, perpendiculaire au mouvement.

d) Expression du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel

Les forces extérieures s'appliquant sur la perle sont ici le poids d'une part et la réaction de la tige sur la perle. Finalement, on obtient l'expression du principe fondamental de la dynamique dans le repère

Pour projeter cette égalité vectorielle, il faut décomposer les forces extérieures dans le repère choisi. Le choix du repère est ici tout indiqué puisque l'expression de l'accélération y est plus concise.

Le poids est vertical descendant, il se décompose dans le repère tournant comme où est le module de l'accélération de la pesanteur.

La force de réaction de la tige sur la perle n'a pas de composante dans la direction puisqu'il n'y a pas de frottement, soit .

Finalement, en projetant l'expression vectorielle du principe fondamental de la dynamique dans le repère dans le repère , ,  , , on obtient trois égalités scalaires :

La première égalité est l'équation du mouvement, les deux autres permettent de déterminer les composantes et de la réaction de la tige sur la perle.

2. Étude de l'équation du mouvement

La seule force qui contribue au mouvement est la force centrifuge qui, en donnant une accélération positive à la perle, expulse la perle du centre de rotation .

La rotation de la tige étant uniforme, est une constante. L'équation du mouvement est une équation différentielle linéaire à coefficients constants. L'équation horaire du mouvement est donc de la forme

où et sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales. Les constantes et sont les zéros du polynôme caractéristique soit et .

Détermination de la trajectoire

En utilisant les conditions initiales, on trouve pour la vitesse : soit (on suppose ici bien évidemment) et pour la position . L'équation horaire de la trajectoire de la perle par rapport à la tige est donc :

Enfin, en utilisant les relations (1) et (2), on obtient l'équation horaire du mouvement de la perle par rapport au sol :

qui correspond à une spirale logarythmique.

3. Détermination de la réaction de la tige

Les composantes et de la réaction de la tige sur la perle se déterminent par les deux égalités (4) et (5), et l'on obtient

Ainsi à mesure que la perle s'écarte du centre de rotation, sa vitesse le long de la tige augmente et la réaction perpendiculaire diverge.

Il est donc en toute rigueur nécessaire de tenir compte d'éventuelles déformations de la tige sous l'effet de la force de Coriolis.