Utiliser les formules de Binet pour calculer la trajectoire.

1. La position du barycentre des deux étoiles est définie par la relation vectorielle : . Le référentiel barycentrique est galiléen si l'accélération du barycentre est nulle. Pour le démontrer il faut donc calculer l'accélération de chacune des étoiles. L'étoile ( )n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle de l'étoile ( ) noté ( ). En appliquant une principe fondamentale de la dynamique successivement à chacune des étoiles, on obtient :

Or la loi de l'égalité de l'action et de la réaction nous permets d'affirmer que , nous avons donc

ce qui démontre bien que le barycentre se déplace avec une vitesse constante et donc que le référentiel y prenant son origine est galiléen.

2. Le vecteur position relative est définit par . Dans le référenciel barycentrique, et , on déduit donc de la relation de définition du barycentre , la relation demandée . En combinant cette relation avec la définition du vecteur position relative, on obtient deux relation définissant en fonction soit de , soit de :

3. On voit ainsi que le vecteur position relative est proportionnel aux vecteurs position dans le repère barycentrique.

L'impulsion totale su système est la somme des impulsions de chacune de ces sous partie soit . L'impulsion totale est donc nulle.

L'énergie mécanique est une grandeur additive, elle est composée de l'énergie cinétique de l'étoile , de l'énergie cinétique de l'étoile , de l'énergie d'interaction gravitationnelle entre et .

En utilisant les relations (1), les termes d'énergie cinétique s'écrivent en ne faisant apparaître que la vitesse relative .

où l'on a introduit la masse réduite et la masse totale . L'énergie mécanique est similaire à celle d'un mobile fictif de masse de position en interaction gravitationnelle avec un objet de masse immobile à l'origine du repère. Ainsi le problème à deux corps en interaction est formellement équivalent au problème d'une particule dans un champs de force central.

Le moment cinétique du système est aussi la somme des moments cinétique de chacune des sous partie soit :

que l'on peut écrire en remplaçant et en fonction de :

Pour démontrer que le mouvement est plan, on démontre que le moment cinétique est un vecteur constant, c'est-à-dire que . En effectuant la dérivation à partir de l'expression précédement établie, on obtient

le premier terme est nul puisqu'il correspond au produit vectoriel de vecteur colinéaire, le second car l'accélération est colinéaire avec le vecteur position . En effet, d'après le principe fondamentale de la dynamique l'accélération est colinéaire à la somme des forces extérieurs appliquées, or ici l'unique force appliquée au mobile fictif est l'interaction gravitationnelle qui est colinéaire au vecteur position (force centrale). Ainsi le moment cinétique est un vecteur constant or il est par définition perpendiculaire au vecteur position. A chaque instant, le vecteur position est donc perpendiculaire à une droite fixe de l'espace, il est donc constamment contenue dans un même plan et donc le mouvement est plan.

4. Le référentiel barycentrique étant galiléen, on peut appliquer y le principe fondamentale de la dynamique à l'étoiles :

En remplaçant en fonction de et par , on obtient l'expression du principe fondamentale de la dynamique  pour le mobile fictif

La résolution de cette équation différentielle vectorielle nécessite la projection dans un repère, il est commode de choisir un repère cylindrique : avec les axes et dans le plan de la trajectoire. Dans ce calcul, on va bien entendu utiliser la conservation du moment cinétique aussi est-il utile de commencer par calculer son expression dans le repère choisi :

Dans la suite, on notera le module du moment cinétique. La conservation du moment cinétique exprime une dépendance entre la variation de et la variation de , aussi peut-on l'utiliser pour exprimer l'accélération uniquement en fonction de la dépendance radiale, en effet

l'accélération est donc purement radiale (ce qui est cohérent avec le fait que la force le soit aussi) et ne depend que de la variable . L'expression vectorielle du principe fondamentale de la dynamique est donc équivalente à l'expression scalaire :

La résolution de cette équation donnera la variation temporelle du rayon puis en utilisant la conservation du moment cinétique, on obtiendra la variation temporelle de l'angle . Cependant il existe un moyen pour obtenir directement d'équation différentielle donnant la trajectoire.

En remarquant que :

puis en remplacant par on peut écrire on remplace ainsi une dérivée temporelle par une dérivée angulaire. En itérant, on obtient sans peine . L'accélération peut donc s'écrire

Ce résultat est connu sous l'appellation "formule de Binet'' et permet d'écrire (2) sous la forme

Cette relation est une équation différentielle linéaire par rapport à la variable du second ordre avec second membre. En posant le changement de variable on obtient

dont les solutions sont avec et des constantes d'intégrations définies par les conditions initiales. En choisissant correctement les axes du repère, on peut toujours obtenir soit . Finalement, on obtient l'équation de la trajectoire

où l'on a posé et

Remarquons que le connaissance de la trajectoire permet de déterminer l'équation horaire du mouvement en déterminant la position à un instant le long de la trajectoire ce qui nécessite un paramètre. Ici le paramètre pertinent est l'angle . L'évolution temporelle de et donnée par l'équation différentielle exprimant la conservation du moment cinétique en remplaçant en fonction de à l'aide de l'équation de la trajectoire.

L'expression analytique de la solution de cette équation existe mais n'apporte rien de particulier ici et le calcul n'est pas reporté.

L'étoiles et orbitent l'une autour de l'autre si la distance qui les sépare reste finie, ce qui nécessite que reste borné par une valeur finie. On regardant l'équation de la trajectoire (3) on note que cette condition correspond à une condition sur le paramètre telle que . L'équation générale de la trajectoire (3) est celle d'une conique et le paramètre est "l'excentricité". Lorsque , la trajectoire est une ellipse, ce qui est correspond bien à des étoiles orbitant l'une autour de l'autre.

Ce résultat peut être obtenu en raisonnant sur l'énergie mécanique

mais avant tout faisons la remarque suivante :

L'énergie mécanique est composée d'énergie cinétique qui est toujours positive et d'énergie mécanique qui est ici toujours négative. Au cours du mouvement, il y a transfert entre l'énergie cinétique et l'énergie potentiel de sorte que l'énergie mécanique soit constante. Si le système n'est pas lié, c'est-à-dire que les étoiles s'éloignent infiniment l'une de l'autre avec une vitesse relative non-nulle, alors l'énergie potentiel devient nulle et l'énergie mécanique est donc positive Inversement, si le système est lié, il existe pour une position donnée une valeur maximale de l'éloignement correspondant à une vitesse nulle (points de rebroussement), dans ce cas, l'énergie mécanique est négative.

Ainsi, du signe de l'énergie, on en déduit la nature de la trajectoire (lié ou libre).

Il est possible d'exprimer autrement la condition sur l'excentricité à partir de l'expression de l'énergie mécanique. Pour cela, il faut exprimer la vitesse en fonction de la variable angulaire et du module du moment cinétique . En utilisant de nouveau un repère cylindrique, on obtient l'expression de la vitesse

d'où en déduit l'expression de la norme au carré de la vitesse :

et donc de l'énergie mécanique :

La dérivée se calcule en utilisant l'équation de la trajectoire (3) : soit en substituant

,

.

La relation de définition du paramètre permets de ré-écrire l'énergie mécanique sous la forme :

,

,

.

On sait que l'existence de trajectoire liée impose , ce qui correspond bien à , condition établi à partir de l'expression de la trajectoire. Au passage, on obtient une nouvelle définition de l'excentricité

en fonction des constantes du mouvement: énergie mécanique et moment cinétique.

5. Centre de gravité après l'explosion

Après l'explosion, la position du nouveau centre de gravié est défini en fonction de l'ancien centre par le vecteur position . La définition du centre de gravité donne la relation

.

En utilisant les relations (1) on obtient l'expression de la position du nouveau de gravité en fonction de la position relative :

.

6. Energie après explosion

Avant l'explosion, la trajectoire du mobile réduit est circulaire de rayon . La vitesse n'étant pas modifiée pendant l'explosion, on déduit aisément le module de la vitesse juste après l'explosion :

L'explosion entraînant une perte de masse, il n'y a pas bien évidement conservation de l'énergie. Cependant, on peut calculer l'énergie juste après l'explosion sous la forme suivante :

L'expression (4) permet de faire apparaître le module de la vitesse dans le terme d'énergie potentielle et de retrouver la forme demandée :

On a démontrer précédemment que les trajectoire liés correspondent à des valeurs négatives de l'énergie. En conséquence, on peut affirmer que l'explosion brise le lien gravitationnel si ce qui est équivalent à soit

Il est immédiat que ceci ne peut se produire que si l'étoile ayant explosé est la plus massive des deux ( ). Il faut alors que l'étoile massive perdent au minimum 50% de sa masse.

Un autre critère équivalent peut être obtenu en notant que implique . La masse perdue par l'explosion doit ainsi être supérieure à la masse restante pour qu'il y ait brisure à long terme du lien gravitationnel (c'est à dire des trajectoires de type parabolique ).