Bilan de quantité de mouvement
Avant le choc la balle a une quantité de mouvement \vec{p}_1=m\vec{v} et le bloc une quantité de mouvement nulle.
Après le choc l'ensemble balle + bloc a une quantité de mouvement \vec{p}_2=(M+m)\vec{v}. Comme le système balle + bloc n'est soumis a aucune force horizontale, la projection horizontale de la quantité de mouvement est conservée. En notant \vb{h} un vecteur unitaire dont la direction est alignée avec celle de la vitesse de la balle, on obtient l'expression de la vitesse de l'ensemble balle + bloc juste après le choc.
\vec{V}=\frac{m}{M+m}v\veceh
Bilan d'énergie
On considère maintenant le pendule après le choc. Le bloc a une masse M'=M+m et une vitesse initiale horizontale de module V. La position du pendule est défini par l'angle \alpha(t) entre la corde et la verticale. On note v_B(t) la vitesse du bloc au cours du temps.
L'énergie mécanique du système est une constante du mouvement dont l'expression est :
E_\textrm{m}= \frac{1}{2}M'v_b^2 - M'gl \cos\alpha
A l'instant initiale le pendule est verticale (\alpha=0) et l'on a
E_\textrm{m}= \frac{1}{2}M'V^2 - M'gl
L'angle alpha est maximal lorsque l'énergie cinétique est nulle, c'est-à-dire que toute l'énergie mécanique est sous forme d'énergie potentiel. En notant \alpha_\textrm{max} cette valeur, on obtient
E_\textrm{m}= - M'gl \cos\alpha_\textrm{max}.
La conservation de l'énergie mécanique nous permets donc d'obtenir la valeur de \alpha_\textrm{max} en fonction de la vitesse initiale v de la balle :
\cos\alpha_\textrm{max}= 1 -\frac{1}{2gl}V^2 =1 -\frac{1}{2gl}\left( \frac{m}{M+m}\right)^2 v^2.
Cette équation n'admets de solution réelle que si \frac{1}{2gl}\left( \frac{m}{M+m}\right)^2 v^2<2. Il existe donc une valeur limite v_l de la vitesse incidente au delà de laquelle le pendule effectue un tour complet v_l^2= 4gl\left( \frac{M+m}{m}\right)^2.