Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti - Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti

Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti

Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti

Calcul de la viscosité de l'air avec un oscillateur amorti

Énoncé

On se propose de mesurer la viscosité \eta de l'air en étudiant les oscillations amorties d'une bille métallique suspendue à l'extrémité d'un ressort.

La masse de la bille de rayon R est notée m. On suppose que l'air exerce une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à la vitesse de la bille et de sens opposé à celle-ci (\vec{f} = - \lambda . \vec{v}, \lambda est le coefficient de frottement). La poussée d'Archimède exercée par l'air sur la bille est négligée. La masse du ressort est négligeable et sa constante de raideur est notée k. La loi de Hooke est supposée vérifiée dans tout l'exercice. On notera g l'accélération de la pesanteur.

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

La bille est écartée verticalement de sa position d'équilibre d'une distance a_0, puis elle est lâchée sans vitesse initiale. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position de la bille par rapport à sa position d'équilibre.
Dans le cas d'une masse de forme sphérique, le coefficient de frottement \lambda s'exprime simplement comme \lambda = 6 \pi \eta R (loi de Stokes). La viscosité \eta s'exprime en Poiseuille.

Quelle est la dimension de cette grandeur en unités MKSA ?
Réécrire l'équation différentielle obtenue à la question 1 sous la forme : \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 .x = 0 et donner les expressions analytiques du taux d'amortissement \gamma et de la pulsation propre \omega_0 en fonction de R, \eta, k et m.
Montrer que l'équation précédente présente trois solutions distinctes et nommer les régimes auxquels celles-ci se rattachent (il n'est pas demandé de résoudre l'équation différentielle).

Si la solution de l'équation peut être approximée par : x(t) = a_0 . e^{\frac {- \gamma . t} {2}} . \cos(\omega_0.t), qu'en déduisez-vous pour le facteur de qualité Q de l'oscillateur ?
A l'instant t = 0, la bille a été écartée de 4 cm de sa position d'équilibre. Au bout de 3 heures, l'amplitude maximum des oscillations est de 3 cm.

En déduire le taux d'amortissement \gamma, la viscosité \eta de l'air et le facteur de qualité Q de l'oscillateur.

On prendra : m = 0,1 ~\mathrm{kg}, R = 1 ~\mathrm{cm} et k = 10 ~\mathrm{N.m}^{-1}.

Aide simple

Solution détaillée

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'équilibre, il vient :

\vec{P} + \vec{T} = \vec{0}

La loi de Hooke donne \vec{T} = -k. \overrightarrow{O'O}, on obtient :

m.g. \vec i- k. \overrightarrow{O'O} = \vec{0}

En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique à t quelconque, il vient :

m. \vec{a} = \vec{P} + \vec{T} + \vec{f}

La loi de Hooke donne \vec{T} = -k. \overrightarrow{O'M}

La force de frottement visqueux s'écrit : \vec{f} = - \lambda . \frac{d \overrightarrow{OM}} {dt}

Avec \vec{a} = \frac{d^2 \overrightarrow{OM}} {dt^2}:

m. \frac{d^2 \overrightarrow{OM}} {dt^2} = \vec{P} - k. \overrightarrow{O'M}- \lambda . \frac{d \overrightarrow{OM}} {dt}

Avec \overrightarrow{OM} = x. \vec i, \overrightarrow{O'M} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{O'O} + x. \vec i et après projection sur l'axe horizontal Ox, on obtient :

m. {\frac {d^2 x} {dt^2} }.\vec i = m.g.\vec i - k . \overrightarrow{O'O} - k.x.\vec i - \lambda . {\frac {d x} {dt} }.\vec i

Or, m.g.\vec i - k . \overrightarrow{O'O} = \vec 0 (voir ci-dessus)

Finalement : m. \ddot{x} + \lambda \dot{x} + k. x = 0
Avec || \vec{f} || = \lambda . || \vec{v} || et \lambda = 6 \pi \eta R : \eta = \frac {|| \vec{f} ||} {6 \pi R || \vec{v} ||}

D'où : [ \eta ] = \frac {M.L.T^{-2}} {L.L.T^{-1}} = M.L^{-1} .T^{-1}

\eta s'exprime donc, dans le système MKSA, en ~\mathrm{kg.m}^{-1}.\mathrms^{-1} ou encore ~\mathrm{Pa.s} .
En divisant par m l'équation obtenue en 1), on obtient :

\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 .x = 0 avec \omega_0 = \root{}{\frac k m} et \gamma = \frac {\lambda} {m} = \frac {6 \pi \eta R}{m} où \omega_0 est la pulsation propre et \gamma est le taux d'amortissement.
(Voir boite à outils de l'exercice de référence : Oscillateur harmonique mécanique horizontal (exercice 1) )

Le discriminant de l'équation caractéristique associé à l'équation différentielle s'écrit : \Delta = \gamma^2 - 4. \omega_0^2.

En posant le facteur de qualité Q = \frac {\omega_0} {\gamma} \; : \; \; \Delta = \gamma^2 (1 - 4. Q^2 )

Avec \gamma^2 > 0, on a trois cas possibles :

a) Si Q < \frac 1 2 : \Delta > 0.

Une solution est de la forme : x(t) = e^{\frac {- \gamma . t} {2}}.|C.e^{\omega.t} + D.e^{-\omega.t}| où \omega = \omega_0 \root{ } {\frac {\gamma ^2} {4\omega_0 ^2} - 1} est la pseudo-pulsation.

Le système est alors dans un régime apériodique.

b) Si Q = \frac 1 2 : \Delta = 0.

La solution est de la forme : x(t) = e^{\frac {- \gamma . t} {2}}.(C.t + D)

Le système est alors dans un régime critique.

c) Si Q > \frac 1 2 : \Delta < 0.

Une solution réelle est de la forme : x(t) = A.e^{\frac {- \gamma . t} {2}}.\cos(\omega.t + \varphi) où \omega = \omega_0 \root{ } {1 - \frac {\gamma ^2} {4\omega_0 ^2}} est la pseudo-pulsation.

Le système est alors dans un régime oscillatoire amorti.

\; \to \; Ici, avec une solution x(t) = a_0 . e^{\frac {- \gamma . t} {2}} . \cos(\omega_0.t), on se trouve dans un régime oscillatoire amorti. Le facteur de qualité est donc bon, Q > \frac 1 2.
A.N. avec a_0 = 0,04 ~\mathrmm et x(10800) = 0,03 ~\mathrmm :

Si l'on considère que les oscillations sont très rapides devant l'amortissement, on peut négliger la partie en cosinus, d'où :

\gamma = \frac {- 2} {t} .~\mathrm{ln} \bigg( \frac {x(t)} {a_0} \bigg) \approx 5,33.10^{-5} ~\mathrms^{-1}

Avec \eta = \frac {\gamma m} {6 \pi R} \approx 2,83.10^{-5} ~\mathrm{Pa.s}

Et Q = \frac {\omega_0} {\gamma} = \root{}{\frac k m} \frac 1 {\gamma} \approx 187617 \gg \frac 1 2

Remarque :

Un facteur de qualité aussi élevé revient à négliger \gamma devant \omega_0. On vérifie ainsi que négliger les frottements de l'air sur un oscillateur mécanique est une bonne approximation.