Exemple d'oscillateur forcé, le sismographe
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Exemple d'oscillateur forcé, le sismographe

Énoncé

Un sismographe est un appareil permettant de mesurer l'amplitude d'une secousse quelle que soit sa fréquence.

Le dispositif peut être schématisé par une masse suspendue à un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide . L'autre extrémité du ressort est accrochée à un support horizontal mobile.

Le mouvement est amorti par une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à la vitesse de la masse et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement). La masse du ressort est négligeable et la loi de Hooke est supposée vérifiée.

Lorsqu'une secousse se produit, elle applique sur le support mobile une modulation sinusoïdale de la forme , où est l'amplitude de la secousse et sa pulsation. On notera l'accélération de la pesanteur.

  1. Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position de la masse par rapport à sa position d'équilibre.

  2. Rappeler à quoi correspond le régime permanent et écrire, sans résoudre l'équation différentielle, la loi d'évolution de la position de la masse dans ce cas.

  3. En utilisant la notation complexe, déterminer l'amplitude du mouvement de la masse et son déphasage .

  4. Montrer que l'utilisation de ce dispositif comme un sismographe est simplifiée lorsque la pulsation propre du ressort est très petite devant celle de la secousse et en négligeant les frottements.

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