Vibration d'une molécule diatomique
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Vibration d'une molécule diatomique

Énoncé

Pour étudier les modes de vibrations longitudinales d'une molécule diatomique , on assimile la liaison entre les deux atomes à un ressort de raideur . On désignera par et les masses respectives des atomes et . On notera par et les déplacements respectifs des atomes et par rapport à leur position d'équilibre.

On admet que la molécule n'est pas animée d'un mouvement de translation et que le poids des atomes est négligeable devant la tension du ressort. La masse du ressort simulant la liaison est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux atomes est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

Schéma du système avec bilan des forces dans un référentiel galiléen
  1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux atomes dans le temps.

  2. En vous appuyant sur la forme vectorielle du système d'équations différentielles obtenu à la question 1 : , déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice .

  3. Déduire du résultat de la question 2 la solution générale du système d'équations du mouvement.

    Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

  4. Donner la signification physique du ou des mode(s) propre(s) de la molécule en indiquant sur un schéma l'état de vibration correspondant.

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