Oscillations couplées de deux masses avec trois ressorts
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Oscillations couplées de deux masses avec trois ressorts

Énoncé

On considère deux blocs de masses respectives et liés l'un à l'autre par un ressort de constante de raideur . Le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et, à l'autre extrémité du système, le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur .

La masse des ressorts est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux blocs est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

Schéma du dispositif
  1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux blocs dans le temps.

  2. On considère désormais que les blocs sont de masse identique de sorte que et que les ressorts ont la même constante de raideur .

    2.a) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

    2.b) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.

    2.c) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

  3. A l'instant :

    3.a) Le bloc de masse est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que le bloc de masse en est écarté d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.

    Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

    3.b) Les blocs de masse et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.

    Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

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