Décomposons le moment cinétique :
avec
moment cinétique par rapport à
de la masse
moment cinétique par rapport à
de la masse
moment cinétique par rapport à
de la portion de fil
moment cinétique par rapport à
de la portion de fil
moment cinétique par rapport à
de la portion de fil
reposant sur la poulie
moment cinétique par rapport à
de la poulie
Soit
la vitesse de la masse
. Le fil étant inextensible, les 2 masses ont même vitesse.
comme
et
sont colinéaires, il reste:
De même pour la masse
,
or
, tous les points du fil étant animés de la même vitesse.
pour le segment
,
De même pour le segment
,
pour le segment
,
pour le segment
,
Il reste à calculer le moment d'inertie
pour un disque homogène autour de son axe de rotation. Décomposons le disque en anneaux homogènes concentriques de rayon
et d'épaisseur
. Chacun de ces anneaux a un moment d'inertie
où
représente la densité surfacique. Pour le disque complet,
. La relation qui relie
à
est la suivante:
donc
d'où
La poulie effectue un mouvement de rotation à la vitesse angulaire
suite à la translation du fil avec la vitesse
soit
On en déduit le moment cinétique total:
.
Bilan des forces extérieures agissant sur le système comprenant les 2 masses, le fil et la poulie :
Poids du fil, i.e. des parties
,
,
Poids de chacune des 2 masses
Poids de la poulie
Quelles sont les forces pour lesquelles le moment par rapport à
est égal au vecteur nul ?
Poids de la poulie, la droite d'action intercepte l'axe de rotation
Poids de la portion de fil
, idem
avec
et
milieux des segments
et
respectivement.
Pour le poids de la masse
,
Comme
et
sont colinéaires,
De la même façon pour la masse
,
On peut décomposer
Comme
et
sont colinéaires,
De la même façon,
Donc
.
On écrit le théorème du moment cinétique:
En remplaçant avec les résultats des questions précédentes,
On obtient une équation différentielle de la forme :
avec
et
La solution sans second membre est de la forme
Une solution particulière s'écrit:
La solution générale avec second membre s'écrit:
Or à
,
et
d'où
et
Cette équation est caractéristique d'un mouvement oscillant. Si on néglige la masse du fil,
, l'équation différentielle se simplifie de la façon suivante :
soit
On retrouve l'équation différentielle d'un mouvement uniformément accéléré .
, de masses respectives
et de masse
non négligeable, passant dans la gorge d'une poulie. Cette poulie sera considérée comme un disque homogène de masse
. La masse
de la poulie.
