à compléter

Le cadre de vélo exerce sur la roue une force appliquée au point . On note un vecteur unitaire vertical ascendant et un vecteur unitaire horizontal dont la direction correspond au sens de déplacement du vélo. On donne enfin la composante avec .

1. Lors d'un roulement sans glissement le centre de la roue se déplace d'une longueur quand la roue fait un tour. On note avec la vitesse de rotation de la roue par rapport au sol. La vitesse du point lors d'un roulement sans glissement vaut par conséquent . Examinons maintenant la vitesse au point  :

   

   Nous voyons alors que le roulement sans glissement impose .

   On note un vecteur unitaire vertical ascendant et un vecteur unitaire horizontal dont la direction correspond au sens de déplacement du vélo.

2. Le non-glissement impose que la somme des moments des forces extérieures appliquées à la roue soit nulles, empêchant ainsi la roue de tourner sur elle-même en glissant sur le sol. Le plus simple est de calculer la somme des moments des forces au point , ainsi la réaction du cadre sur la roue ne contribue pas. Il y a roulement sans glissement si :

   

   où est la force de frottement de la roue sur le sol. Comme il n'y a pas de mouvement dans la direction verticale, la somme des forces extérieurs est nulle dans cette direction et l'on obtient: où est la réaction normale du sol sur la roue. La force de frottement peut prendre des valeurs comprises entre . Le roulement sans glissement impose donc :

   .

3. La roue exerce sur le cadre du vélo une force appliquée au point . Comme il y a équilibre dans la direction , La composante horizontale du cadre sur la roue se déduit en faisant le bilan des forces horizontales :

   

4. On introduit un repère cartésien où est le point de contact entre la roue et le sol, l'axe étant aligné avec l'axe de rotation de la roue. On définit l'angle d'inclinaison : . On note l'angle de rotation du mono-cycle dans le plan horizontal c'est-à-dire autour de l'axe . Le vecteur rotation de la roue vaut :

   .

   que l'on peut écrire dans les axes propres de la roue

   .

   L'énergie cinétique du mono-cycle à la forme :

   

   Comme il y a roulement sans glissement si bien que

   .

   L'énergie potentiel ne dépend elle que de l'angle :

   .

   On en déduit le Lagrangien :

   

   La coordonnée est cyclique et l'impulsion est une constante du mouvement :

   .

   Cette impulsion est liée à la projection du moment cinétique dans la direction .

   Plaçons nous maintenant dans le cas où le cycliste modifie l'angle pour passer de la situation initiale à la situation finale . Pour cela il impose à la roue un moment de rotation porté par l'axe en déportant latéralement sont centre de gravité. Ce moment ne fait donc pas varier la quantité qui reste conservée. Or à l'instant initiale et (le vélo roule en ligne droite) par conséquent, . Comme est une constante du mouvement, on a donc :

   

   ce qui nous donne la vitesse de rotation du mono-cycle dans le plan.

   Dans l'approximation des petits angles, on obtient :

   

   La vitesse de rotation augmente avec l'angle d'inclinaison, la vitesse de rotation de la roue et le rapport du moment axial au moment transverse.

5. Étudions maintenant la stabilité du mono-cycle en considérant l'angle comme variable. Le système présente deux degrés de liberté et , l'équation pour ayant déjà été déterminée, regardons l'équation pour l'angle :

   

   En se plaçant dans l'approximation des petits angles et en remplaçant par l'expression déjà déterminée, il vient :

   .

   Le cycliste est donc en équilibre stable si . La vitesse de rotation critique de stabilité est d'autant plus faible que le centre de gravité du vélo est bas, et que le moment principal est important.