à compléter

1. Déterminer les trois moments d'inertie principaux du cylindre et les axes propres.

2. Décomposer le vecteur rotation du cylindre dans la base des axes propres du cylindre. En déduire l'énergie cinétique du cylindre.

3. En déduire le tenseur d'inertie du cylindre dans une base cartésienne dont l'un des axes est confondu avec l'axe de rotation .

NLP_C_M02_G01

à compléter

On note un repère cartésien fixe par rapport au sol d'origine le centre de gravité de dont le vecteur est aligné avec l'axe , un repère cartésien fixe par rapport au cylindre d'origine dont le vecteur est aligné avec l'axe et un repère cartésien fixe par rapport au cylindre d'origine dont le vecteur est aligné avec l'axe .

Les axes principaux du cylindre sont confondus avec les axe du repère . Calculons les moments principaux d'inertie. Pour des raisons de symétrie, il est évident que . Néanmoins le calcul est un peu long

Pour mener le calcul, il faut découper le cylindre en ``tranches'' parallèles au plan et d'épaisseur . Chaque tranche est un parallélépipède rectangle d'épaisseur de longueur et de largeur . La largeur dépend de la position de la tranche dans le cylindre. Le calcul s'effectue en intégrant en premier lieu sur et puis sur . Comme le cylindre est homogène, l'élément de masse vaut .

Or

Soit

la largeur est la longueur d'une corde d'un cercle de rayon à une distance du centre du cercle, on en déduit la relation soit

d'où

Les calculs se simplifient en posant ainsi   et de sorte que :

Pour calculer les intégrales, il faut linéariser les cosinus

soit

Le calcul de est plus rapide :

Le vecteur rotation du cylindre par rapport au repère fixe a pour composante . On peut exprimer ce vecteur dans la base :

l'axe étant choisi perpendiculaire au plan .

L'énergie cinétique est alors triviale à calculer :

Pour déterminer le tenseur d'inertie dans la base , utilisons l'expression déterminée dans la base et la matrice de changement de base de à :

C'est une matrice de rotation d'un angle suivant l'axe . On peut alors obtenir le tenseur d'inertie dans la base en effectuant le changement de base

on obtient

Calculons maintenant le moment cinétique du cylindre au point dans la base :

Dans le cas particulier , on retrouve la valeur attendue pour le moment cinétique . On remarque que le moment cinétique n'est pas aligné avec l'axe de rotation mais dans le plan .

Appelons le moment des forces de liaisons du bâti sur l'axe de rotation calculé au point . Le moment du poids calculé au point est nul. Il en sort que les moments des forces extérieures agissant sur le cylindre se résume à . Nous pouvons maintenant appliquer le théorème du moment cinétique dans le repère galiléen

Dans l'expression dont nous disposons pour le moment cinétique, le vecteur n'est pas fixe par rapport à la base mais effectue une rotation de vitesse angulaire dans le plan . En choisissant l'origine des temps dans une configuration où les vecteurs et sont confondus on obtient

On en déduit le moment des forces de liaison :

qui est porté par l'axe tournant . Bien entendu, le moment des forces de l'axe de rotation sur le bâti est l'opposé. Remarquons que le moment des forces de liaison s'annule si l'axe de rotation est confondu avec un axe principal du solide avec où si l'axe de rotation est dans un plan principal .