Utiliser la symétrie des objets pour déterminer les axes principaux.

1. Le parallélépipède étant homogène, le centre de gravité est à l'intersection des diagonales. Il possède trois plans de symétrie parallèles aux faces, on en déduit que les trois axes principaux sont les axes passant par les centres des faces opposées. En introduisant un repère cartésien avec le vecteur parallèle aux arrêtes de longueur , le vecteur

   parallèle aux arrêtes de longueur et le vecteur parallèle aux arrêtes de longueur .

   

   En décomposant les intégrales il vient :

   

   soit

   

   et finalement en introduisant la masse du solide

   

   De la même façon, on obtient :

   

   et

   

2. Le centre de gravité d'une boule homogène est au centre de la boule est comme tout axe passant par est un axe de symétrie d'ordre supérieur à , tout axe passant par est un axe principal d'inertie. On introduit le repère cartésien , les axes étant choisis sans distinction.

   Les trois axes principaux étant aussi des axes de symétrie d'ordre supérieur à trois, les trois moments d'inertie sont égaux: avec

   

   On en déduit facilement que

   

   Au lieu de faire le calcul directement, il est plus simple de calculer

   

   car l'intégrale se calcul simplement en passant aux coordonnées polaires :

   

   où l'on a introduit la masse . Soit finalement

   et donc

3. La balle creuse possède les mêmes symétries que la boule, on en déduit donc que le centre de gravité est au centre de la balle et que les trois axes du repère cartésien sont des axes principaux d'inertie de moments égaux . Pour calculer le moment d'inertie, on peut décomposer la balle creuse en une boule homogène de rayon à laquelle on a prélevé une boule homogène de rayon . Dès lors, on peut calculer comme

   

   soit en introduisant la masse

   

4. Le cylindre étant homogène, le centre de gravité est situé au milieu de l'axe de symétrie , l'axe est donc un axe principal d'inertie. Tout plan contentant est un plan de symétrie donc les deux autres axes principaux sont perpendiculaires à et passent par le centre de gravité. On introduit le repère cartésien en alignant le long de l'axe .

   Comme est un axe de symétrie d'ordre supérieur à 3 . Calculons :

   

   Pour mener le calcul, il faut découper le cylindre en ``tranches'' parallèles au plan et d'épaisseur . Chaque tranche est un parallélépipède rectangle d'épaisseur de longueur et de largeur . La largeur dépend de la position de la tranche dans le cylindre. Le calcul s'effectue en intégrant en premier lieu sur et puis sur . Comme le cylindre est homogène, l'élément de masse vaut .

   

   Or

   

   Soit

   

   la largeur est la longueur d'une corde d'un cercle de rayon à une distance du centre du cercle, on en déduit la relation soit   d'où

   

   Les calculs se simplifient en posant ainsi   et de sorte que :

   

   Pour calculer les intégrales, il faut linéariser les cosinus

   

   

   soit

   

   

   Le calcul de est plus rapide :

   

5. Le tuyaux possède le même centre de gravité et les mêmes axes de symétrie que le cylindre précèdent. Comme pour la balle creuse, on peut imaginer le tuyau comme composé d'un cylindre plein de rayon auquel on retire un cylindre de rayon . Cela donne pour les moments principaux en appelant la densité :

   

   

   

   où est la masse du tuyau