Montrons au préalable le centre de gravité
d'un cylindre homogène de masse
, de centre
, de rayon
et de hauteur
est confondu avec
. Le calcul est simple dans une base cylindrique
.
Soit en séparant les intégrales :
ce qui démontre bien le résultat.
On peut maintenant calculer le centre de gravité
de
en le décomposant en trois cylindres homogènes. En appelant
le centre du solide
, le centre de gravité
de
est en
, les centres de gravité
et
sont tels que
dès lors il vient
Le centre de gravité
est évidement confondu avec
.
Passons au calcul du moment d'inertie :
où
est la distance du point courant à l'axe
, après calcul de chaque intégrale on obtient
soit encore
.
On introduit un repère cartésien
avec l'axe
dirigé suivant la verticale ascendante. En l'absence de contrainte géométrique le solide
à trois degrés de liberté de translation et trois degrés de liberté de rotation. Comme l'axe
est horizontal, il n'y a que deux degrés de rotation et comme la corde dévidée est verticale, les trois degrés de liberté de translation sont liés directement aux deux rotations. Finalement, le yo-yo possède donc deux degrés de liberté.
On note
l'angle de rotation du yo-yo autour de l'axe
et
l'angle de rotation de
dans le plan
. On appelle
les coordonnées cartésiennes du point
. On introduit aussi la distance
du centre de gravité
à l'axe
, il est évident que
.
Il faut maintenant réaliser le lien entre les deux variables angulaires
et
et les variables de translation
,
et
. Les coordonnées dans le plan horizontal sont liées à la rotation d'angle
et à la distance
: x
La distance
est liée à l'angle de rotation
puisque la corde s'enroule en spirale
où l'on a pris comme référence
lorsque toute la corde est dévidée. Enfin, l'altitude
est aussi reliée à l'angle
du fait du dévidement de la corde :
la constante
se détermine quand
alors
soit
et finalement
.
Déterminons l'énergie potentielle :
On peut maintenant déterminer l'énergie cinétique
où l'on a introduit
le moment de rotation de
une direction transverse à
. En remplaçant les variables
,
et
par leurs expressions en fonction de
Le Lagrangien vaut
Avant d'aller plus loin en remplaçant
, on peut noter que
est une coordonnée cyclique est que donc l'impulsion
est une constante du mouvement
ce qui implique que
est une constante du mouvement. On se placera dans le cas où
et on choisira
.
Écrivons maintenant l'équation pour la variable
, calculons en premier lieu l'accélération généralisée
et donc
;
puis la force généralisée
Soit finalement en posant
Si
, l'équation du mouvement devient
ce qui correspond à un mouvement uniformément accéléré.
de diamètre
et de masse négligeable s'enroulant en spirale sur un cylindre
, de rayon
et de longueur
et
de masse
par rapport à l'axe
peut-on négliger la contribution du cylindre central
fixe par rapport à un référentiel Galiléen. Donner le nombre de degrés de liberté du système en supposant que la corde dévidée reste toujours verticale et que l'axe
