Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1). - Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1).

Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1).

Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1).

Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1).

Énoncé

On considère une onde électromagnétique plane, progressive et sinusoïdale de pulsation , se propageant dans le vide (caractérisé par la constante de la loi de Coulomb , la perméabilité magnétique du vide et la célérité ). L'espace est rapporté à un repère cartésien Oxyz de base orthonormée. L'onde se propage dans la direction . Le vecteur champ électrique d'amplitude est parallèle à .

Écrire, en notation réelle, les composantes du vecteur d'onde puis celles du vecteur champ électrique au point de coordonnées ( ) tel que et à l'instant .
En utilisant les équations de Maxwell dans le vide (voir boîte à outils), établir l'équation de propagation de dans le vide. En déduire la relation de dispersion de cette onde dans le vide.
En utilisant les équations de Maxwell dans le vide (voir boîte à outils), exprimer les composantes du vecteur champ magnétique de l'onde au point . Préciser en particulier l'expression de l'amplitude du champ magnétique.
Représenter sur un schéma clair les vecteurs , et . L'onde électromagnétique étudiée est-elle longitudinale ou transversale? Justifier votre réponse.
Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique . Exprimer sa valeur moyenne temporelle < > en fonction de et .
Déterminer les composantes du vecteur de Poynting puis son module et enfin sa valeur moyenne temporelle < > en fonction de , et . Quelle relation existe-t-il entre les valeurs moyennes de et ?
Cette onde transporte une puissance électromagnétique moyenne < > de , évaluée à travers une surface normale à la direction de propagation. Calculer les valeurs numériques de et ?
On prendra : et .

Aide simple

Aide détaillée

Rappel de cours

Solution rapide

Solution détaillée

1. L'onde se propage suivant Oy , alors : .

En considérant l'onde se propageant dans le sens des croissants et étant orienté suivant , on a :

2. Les équations de Maxwell donnent : et .

En supposant que les dérivations par rapport à l'espace et commutent :

il vient alors , d'où :

(voir boîte à outils).

Or, (équation de Maxwell) et étant orienté suivant , on obtient :

Vérifions qu'une solution réelle de cette équation d'onde est de la forme :

En dérivant deux fois par rapport au temps :

et en dérivant deux fois par rapport à :

En remplaçant dans l'équation d'onde, il vient :

Alors, est solution de l'équation d'onde à la condition que : c'est la relation de dispersion.

Ici, l'onde se propage seulement dans le sens des croissants. Le terme de propagation de la phase ( ) traduit alors forcement un retard (on récupère l'onde forcement après qu'elle ait été émise puisque qu'elle parcourt le chemin entre la source et le récepteur à vitesse non infinie). doit donc être négatif, soit . Dans ce cas, la condition devient unique : .

3. Sachant que la seule composante non nulle de est , on a :

Avec

et (équation de Maxwell), il vient :

n'a alors qu'une composante non nulle suivant telle que :

En intégrant par rapport à : .

En l'absence de champ statique, la constante d'intégration , d'où :

avec .

4. On a , et . Le repère étant orthonormé est un trièdre direct. Alors ( ) est un trièdre direct (voir figure 1).

schéma représentant les vecteurs E , B et k dans le repère orthonormé

On a : c'est une onde transversale.

5. Dans le vide :

la densité volumique d'énergie électrostatique
la densité volumique d'énergie magnétostatique

Avec les résultats des questions 1) et 3) et , il vient : .

Avec et , on a , d'où :

. Or, est une fonction périodique du temps variant entre 0 et 1, donc : .

Alors . C'est une constante dépendant de l'amplitude du champ.

6. Avec les résultats des questions 1) et 3), il vient :

D'où et avec , on obtient :

, soit .

Remarque : la norme du vecteur de Poynting est une puissance par unité de surface et est donc reliée à l'intensité de l'onde.

. Or, est une fonction périodique du temps variant entre 0 et 1, donc : .

Alors :

Remarque : l'énergie électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière le long de la coordonnée de propagation .

7. La puissance électromagnétique à travers une surface est donnée par : . étant normale à la direction de propagation, sa normale est orientée selon comme , d'où : . Alors la puissance moyenne s'écrit : , d'où : .

Alors, et .

A.N. : et .

Fin

Début