L'impulsion est obtenue à partir du Lagrangien en le dérivant par rapport à la vitesse. Pour cela, on introduit une base cartésienne
dans laquelle on décompose le vecteur position
, le vecteur vitesse
, le potentiel vecteur
et le vecteur impulsion
.
On obtient les composantes de l'impulsion en dérivant le Lagrangien par rapport à chaque composante de la vitesse.
Ainsi pour la composante sur
, on obtient :
,
les autres composantes s'obtiennent de manière analogue, si bien que finalement
.
On voit dans cette exemple que l'impulsion n'est pas égale à la quantité de mouvement
, c'est une conséquence de la dépendance du potentiel en la vitesse.
Le Hamiltonien se déduit du Lagrangien :
.
On remarque que le Hamiltonien, qui représente l'énergie, ne dépend pas du potentiel vecteur. Cela implique que le champs magnétique n'intervient pas dans l'énergie du système. Or, il est bien connu que la force magnétique
, étant perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas et donc ne fait pas varier l'énergie. On retrouve ici ce résultat classique.
En utilisant l'expression de l'impulsion, l'Hamiltonien s'écrit aussi :
.
Les premières équations de Hamilton nous redonnent la relation entre impulsion et vitesse
Quant aux secondes :
elles peuvent s'écrire sous la forme :
Pour retrouver les équations de Newton, il faut remplacer $\overrightarrow{p}$ des secondes équations par sont expression issue des premières ainsi :
.
soit en remarquant
où
on obtient les équations projetées. On donne ici l'équation déterminant la composant
On reconnaît dans le premier terme du membre de droite la composante suivant
du champ électrique : (
).
Le second terme a pour expression :
que l'on peut mettre sous forme :
Le champs magnétique, définit par la relation :
, a pour composante
Ainsi :
.
Les calculs des autres composantes se déduit par permutation circulaire des indices et l'on retrouve effectivement la loi de Newton avec la force de Lorentz :
.
et de charge
est plongée dans un champ électromagnétique que l'on décrit par le potentiel scalaire
et par le potentiel
. On suppose ici que
.
. 
