Énoncé
Deux masses ponctuelles
identiques sont placées aux extrémités d'une tige rigide de longueur
et de masse négligeable. Initialement, la tige est maintenue verticale, une extrémité touchant le sol. La tige est maintenant lâchée sans vitesse initiale et l'on suppose que l'extrémité glisse parfaitement sur le sol.
Donner le nombre de degrés de liberté du système.
Déterminer le Lagrangien
du système; en déduire le Hamiltonien.En déduire quatre intégrales premières du mouvement et les interpréter physiquement.
Exprimer la vitesse de l'extrémité supérieure lorsqu'elle touche le sol.
Pour déterminer le nombre de degrés de liberté, déterminer d'abord les contraintes géométriques.
Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, paramétrer la position de la barre en utilisant la position du centre de gravité des deux masses et deux angles définissant l'orientation spatiale de la barre.
Pour paramétrer le système, placer un repère cartésien dont les axes
et
sont contenus dans le plan horizontal et la barre étant initialement confondue avec l'axe
. En appelant
le point matériel assujetti à se déplacer dans le plan
, donner les coordonnées de
dans une base polaire du plan
. Déterminer les coordonnées de l'autre point matériel
en utilisant une base cylindrique.
NLP_C_M03_G03
Il y a 4 degrés de liberté
La paramétrisation du système est décrite sur la figure 1.
Le Lagrangien vaut
Le hamiltonien vaut
Les intégrales premières du mouvement sont
et
les impulsions horizontales du centre de gravité,
qui est à un facteur près la projection du moment cinétique sur l'axe vertical
et
l'énergie mécanique Au contact la vitesse de l'extrémité supérieur est verticale descendante et de module
.
Le système est composé de 2 points matériels évoluant dans l'espace et possédant 2 contraintes géométriques: la masse inférieure est assujettie à se déplacer dans le plan et la masse supérieur doit rester à distance fixe de la masse inférieure. Les 2 points matérielles ont chacun
degrés de liberté soit
au total, en soustrayant les deux contraintes, on obtient
degrés de liberté.La paramétrisation du système est décrite sur la figure 1. Les variables
sont les coordonnées cartésiennes du centre de gravité
. Les angles
caractérisent l'orientation de la barre dans l'espace:
est l'angle entre la projection de la barre dans le plan
et l'axe
,
est l'angle entre la barre et le plan
.Une extrémité de la barre étant constamment dans le plan
, la variable
ne dépend de
et l'on a
.Les deux masses étant égales,
est au milieu de la barre. Les quatre coordonnées généralisées sont donc
. On obtient aisément l'énergie potentiel
.Pour le calcul de l'énergie cinétique, il faut procéder au calcul préalable des vitesses
et
des masses
et
On commence donc par déterminer les vecteurs positions en passant par le centre de gravité:
en notant que
On peut maintenant déterminer les vecteurs vitesses:
et
avec
et
que l'on calculera ultérieurement.Dès lors, il vient pour l'énergie cinétique
L'énergie cinétique est composée de deux termes, le premier caractérise l'énergie cinétique du centre de masse et l'autre l'énergie cinétique de rotation de la barre.
En calculant maintenant les vecteurs vitesses:
on obtient
Soit pour le Lagrangien
On détermine ensuite les impulsions généralisées
puis l'Hamiltonien
Il reste enfin à introduire les impulsions généralisées dans le hamiltonien.
Les variables
,
, et
sont cycliques, les trois impulsions correspondantes sont donc des constantes du mouvement.Les impulsions
et
correspondent aux projections de l'impulsion du centre de masse dans le plan horizontal, il est logique de les retrouver comme constante du mouvement puisque les seules forces extérieures agissant sur le système (les poids et la réaction normale du support) alignées suivant la verticale ne peuvent faire varier l'impulsion horizontale. L'impulsion
est liée à la projection du moment cinétique dans la direction verticale. Encore une fois, les forces extérieures étant alignées suivant la verticale, leurs moments suivant l'axe
sont nuls et il ne peut donc y avoir de variation du moment cinétique dans cette direction. Enfin, si l'on ajoute l'hamiltonien qui représente l'énergie mécanique, on obtient les quatre intégrales premières du mouvement.
Si à l'instant initial, la barre est verticale et qu'elle est lâchée sans vitesse alors
,
et p_
et l'énergie mécanique vaut
. Lorsque la barre arrive dans le plan horizontal (
) la vitesse de l'extrémité est telle que 
soit encore
La vitesse de l'extrémité supérieur vaut donc
.
