En absence de champ électrique, la force de Lorentz a une puissance nulle. Le théorème de l'énergie cinétique permet d'obtenir le résultat demandé.

Montrer que .

Utiliser la force de Lorentz, détaillée dans le plan , et utiliser l'expression de l'accélération en coordonnées intrinsèques.

En absence de champ électrique, la force de Lorentz s'exprime comme :

Cette force est associée à une puissance nulle : . Par ailleurs, en appliquant le théorème de l'énergie cinétique, on obtient :

Donc

Ce qui implique que le module de la vitesse est constant, soit .

La force de Lorentz s'écrit : . Le champ magnétique étant dirigé selon l'axe , la force de Lorentz n'a pas de composante selon cet axe, soit :

Cette relation implique donc que l'angle est constant.

On considère la projection de la force de Lorentz dans le plan . Soit , la projection dans ce plan du vecteur vitesse. La norme de ce vecteur vaut . Comme , on peut écrire :

Dans la base des coordonnées intrinsèques (Serret-Frenet),

Le premier terme est nul, puisque le module du vecteur est constant. On insère ce résultat dans l'expression de la force de Lorentz et on obtient :

Le rayon de courbure est constant, l'hélice sera donc bien circulaire.