a. i=-\frac{Bl(v'-v)}{2r}

b. Voir la réponse détaillée

c. v=v'(1-e^{-t/\tau})

d. x(t)= x'

a. Le flux de \vec{B} à travers la surface du circuit vaut désormais

\phi=Bl(x'-x)

si est la position du premier fil

donc

i=\frac{e}{2r}=-\frac{1}{2r}\frac{d\phi}{dt}=-\frac{Bl(v'-v)}{2r}

b. Il s'exerce sur le deuxième fil une force dite de Laplace qui vaut

\vec{F'}=\int i \vec{dl} \wedge \vec {B}

l'intégration sur le fil étant triviale on obtient le résultat demandé.

c. Pour le premier fil, le produit vectoriel donne un résultat opposé, et la relation fondamentale de la dynamique permet d'écrire en projection

m\frac{dv}{dt} = \frac{B^2 l^2 (v'-v)}{2r}

cette équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre se résoud en considérant l'équation sans second membre

\frac{2mr}{B^2l^2}\frac{dv}{dt} = -v

dont une solution est

v=Ke^{-t/\tau}

avec K constante à déterminer et \tau=\frac{2mr}{B^2l^2}

la solution est somme de cette solution et d'une solution particulière (de la forme du second membre, ici une constante C=v')

v= Ke^{-t/\tau}+v'

comme v=0 à t=0

v=v'(1-e^{-t/\tau})

d. x(t)=\int _0^T v(t)dt=v'T+\tau e^{-T/\tau}

si T est grand devant \tau le second terme est négligeable

x(t)= x'

et les deux barres se sont donc déplacées de la même longueur.