La pression d'un gaz est le résultat des chocs des molécules sur les parois entourant le gaz. Il s'agit de compter toutes les molécules percutant la paroi pendant un intervalle de temps, et d'écrire leur changement de vitesse lors du choc comme résultat de la force exercée par la paroi sur elles. On considérera que leurs chocs sont élastiques, c'est à dire que l'énergie cinétique des molécules ne diminuent pas après le choc. A ces considérations, on ajoute l'hypothèse d'équipartition des vitesses dans le gaz.

On raisonne d'un point de vue microscopique: la pression d'un gaz est le résultat des chocs des molécules sur les parois entourant le gaz. Pour chaque molécule, on écrit le principe fondamental de la dynamique dans son choc élastique avec la paroi, ce qui permet d'obtenir la force que chaque molécule exerce sur la paroi. L'ensemble de ces forces exercées pendant un temps donné sur de paroi est égale à la pression dans le gaz. Pour obtenir le résultat, il faut compter toutes les molécules percutant la paroi pendant un intervalle de temps, et d'écrire leur changement de vitesse. On considérera que les chocs sont élastiques, c'est à dire que l'énergie cinétique des molécules ne diminuent pas après le choc.

A ce calcul de la force moyenne exercée par les molécules, on ajoutera l'hypothèse d'équipartition des vitesses dans le gaz. Ces différentes étapes permettent de relier la pression dans le gaz à la vitesse quadratique moyenne des molécules de ce gaz.

Cours de référence: NLP_C_M10_G02

La théorie cinétique s'intéresse aux valeurs moyennes des grandeurs physiques pour un grand nombre de molécules. Les molécules d'un gaz ayant toutes la même masse, on peut par exemple définir la valeur moyenne

La vitesse quadratique moyenne ou vitesse efficace d'une molécule est

Pour chaque molécule, on peut décomposer la vitesse sur les trois axes d'un trièdre :

D'où et

En raison de la répartition isotrope des vecteurs vitesse, et .

On en déduit

On écrit le principe fondamental de la dynamique pour chaque molécule dans son choc élastique avec la paroi, ce qui permet d'obtenir la force qu'elle exerce sur la paroi. On obtient la force moyenne exercée par les molécules en comptant le nombre de molécules heurtant la paroi pendant un intervalle de temps donné. La somme des forces exercées par m² de paroi est égale à la pression dans le gaz. Une hypothèse importante est celle d'équipartition des vitesses dans toutes les directions.

1. La pression exercée par un gaz sur les parois qui l'entourent est résultat des chocs des molécules sur celles-ci. Suivant le principe fondamental de la dynamique, on peut écrire la variation de la vitesse d'une molécule suivant la direction normale à la paroi comme résultat de la force exercée par la paroi sur elle. C'est à dire une force opposée à celle qu'exerce cette molécule sur la paroi. Ainsi

   

   Donc, sur un intervalle de temps qui contient le choc,

   

   avec la composante normale à la paroi du vecteur vitesse après le choc. On peut considérer que le choc est élastique et que les vitesses suivant avant et après le choc sont égales en norme. Ainsi, .

   La pression correspond à la valeur moyenne des forces exercées pendant un intervalle de temps . Elles correspondent aux chocs des molécules contenues dans un cylindre de section unité et de hauteur , donc de volume , et dont les composantes du vecteur suivant sont positives. Les vecteurs vitesse étant répartis uniformément dans tous les directions, les molécules pour lesquelles représentent la moitié des molécules présentent dans ce volume. On obtient

   

   Par définition, et en raison de la répartition isotrope des vecteurs vitesse, on obtient

   

   avec est la norme du vecteur vitesse d'une molécule. On reconnaît que , et finalement

   

2. Applications numériques:

   Dans le cas du dioxyde de carbone, et pour , . Pour ,

1. La pression dans un gaz est égale à la pression exercée par ce gaz sur les parois qui l'entourent. Par définition, cette force perpendiculaire à de paroi est le résultat des chocs des molécules sur celle-ci. Les molécules du gaz se déplacent à des vitesses différentes; il s'agit de faire l'inventaire des molécules percutant la paroi pendant un intervalle de temps, et de calculer la force moyenne exercée. Suivant le principe fondamental de la dynamique, on peut écrire la variation de la vitesse d'une molécule suivant la direction normale à la paroi comme resultat de la force exercée par la paroi sur elle. C'est à dire une force opposée à celle qu'exerce cette molécule sur la paroi. Ainsi

   

   Donc, sur un intervalle de temps qui contient le choc,

   

   avec la composante normale à la paroi du vecteur vitesse après le choc.

   On peut considérer que le choc est élastique et que les vitesses suivant avant et après le choc sont égales en norme. Ainsi, et

   

   Alors,

   

   Comptons maintenant le nombre de molécules qui vont frapper l'unité de surface de la paroi pendant cet intervalle de temps . Sont concernées les molécules contenues dans un cylindre de section unité et de hauteur , donc de volume . Parmi toutes les molécules présentes dans ce volume, il ne faut considérer que celles dont la composante du vecteur suivant vaut . Ainsi, ramené à l'unité de volume

   

   Les directions du vecteur vitesse étant réparties uniformément dans tous les sens, seule la moitié de ces molécules se dirigent vers la paroi. Donc

   

   Par définition, la valeur moyenne du carré des vitesses suivant est

   

   avec la densité volumique en molécules. Par ailleurs, en raison de la répartition isotrope des vecteurs vitesse, on a si est la norme du vecteur vitesse d'une molécule.

   Ainsi, on obtient

   

   Enfin, le nombre de molécules par unité de volume fois la masse d'une molécule est égale à la masse volumique du gaz. On obtient donc finalement que la vitesse quadratique moyenne vaut

   

2. Applications numériques:

   Considérons le cas du dioxyde de carbone. Pour , .

   Pour ,