La vitesse quadratique moyenne des molécules d'un gaz est reliée à la pression de celui-ci par la relation :

p =\frac{n}{3}m\overline{v^2}. Par ailleurs, le comportement de l'argon est proche de celui d'un gaz parfait. On peut intégrer cette dernière information de deux manières: soit utiliser la loi des gaz parfaits qui relie pression, volume et température du gaz; soit évoquer le principe d'équipartition de l'énergie, c'est à dire que l'énergie cinétique moyenne de translation des molécules n'est reliée qu'à la température du gaz selon la relation \overline{\epsilon_c} =\frac{3}{2}k_BT. Ensuite, la conservation de l'énergie mécanique d'une molécule d'argon permet d'obtenir la hauteur verticale atteinte par cette molécule.

1. La vitesse quadratique moyenne des molécules d'un gaz est reliée à la pression de celui-ci :

p =\frac{n}{3}m\overline{v^2}

Si l'on considère une mole d'argon et V le volume occupé par cette mole. la pression s'écrit

p =\frac{N_A}{3V}\frac{M}{N_A}\overline{v^2} =\frac{M}{3V}\overline{v^2}

Par ailleurs, le comportement de l'argon est proche de celui d'un gaz parfait. On peut intégrer cette dernière information de deux manières: soit utiliser la loi des gaz parfaits qui relie pression, volume et température du gaz; soit évoquer le principe d'équipartition de l'énergie. Dans le premier cas, on écrit pV = RT, et par identification avec la relation obtenue plus haut, on obtient :

v^* =\sqrt{\overline{v^2}} =\sqrt{\frac{3RT}{M}}

Dans le deuxième cas, on écrit que l'énergie cinétique moyenne de translation des molécules n'est reliée qu'à la température du gaz selon la relation \overline{\epsilon_c} =\frac{1}{2}m\overline{v^2} =\frac{3}{2}k_BT. Et l'on retrouve facilement la même relation.

Pour les températures demandées, on obtient les valeurs numériques suivantes :

2. A la hauteur verticale maximale atteinte h par la molécule d'argon, l'énergie cinétique de la molécule au niveau du sol a été complètement échangée en énergie potentielle gravitationnelle

\Delta\overline{\epsilon_c} + \Delta\epsilon_p = 0

En négligeant les variations de l'accélération de la pesanteur g avec l'altitude, \Delta\epsilon_p = mgh, et par ailleurs \Delta\epsilon_c = −\frac{1}{2}m\overline{v^2}. On en déduit

\frac{1}{2}m\overline{v^2} = mgh \textrm{ soit } h =\frac{\overline{v^2}}{2g}

L'application numérique donne h = 8694\textrm{ m}.

3. L'énergie cinétique moyenne de translation d'une molécule \overline{\epsilon_c} vaut \frac{1}{2}m{v^*}^2.

On obtient à 0\textrm{ °C}

\epsilon_c = \textrm{5,65}.10^{−21}\textrm{ J}

4. Pour une molécule d'hydrogène, on obtient une vitesse v^* = 1845\textrm{ ms}^{−1} et une hauteur h = 173525\textrm{ m}. L'énergie cinétique moyenne de l'hydrogène est bien sûr la même que pour l'Argon à 0\textrm{ °C}, car elle ne dépend que de la température.