La vitesse quadratique moyenne des molécules d'un gaz est reliée à la pression de celui-ci par la relation :

$p=\frac{n}{3}m\overline{v^2}$. Par ailleurs, le comportement de l'argon est proche de celui d'un gaz parfait. On peut intégrer cette dernière information de deux manières: soit utiliser la loi des gaz parfaits qui relie pression, volume et température du gaz; soit évoquer le principe d'équipartition de l'énergie, c'est à dire que l'énergie cinétique moyenne de translation des molécules n'est reliée qu'à la température du gaz selon la relation $\overline{{\epsilon }_c}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$. Ensuite, la conservation de l'énergie mécanique d'une molécule d'argon permet d'obtenir la hauteur verticale atteinte par cette molécule.

1. La vitesse quadratique moyenne des molécules d'un gaz est reliée à la pression de celui-ci :

$p=\frac{n}{3}m\overline{v^2}$

Si l'on considère une mole d'argon et $V$ le volume occupé par cette mole. la pression s'écrit

$p=\frac{N_A}{3V}\frac{M}{N_A}\overline{v^2}=\frac{M}{3V}\overline{v^2}$

Par ailleurs, le comportement de l'argon est proche de celui d'un gaz parfait. On peut intégrer cette dernière information de deux manières: soit utiliser la loi des gaz parfaits qui relie pression, volume et température du gaz; soit évoquer le principe d'équipartition de l'énergie. Dans le premier cas, on écrit $pV=RT$, et par identification avec la relation obtenue plus haut, on obtient :

$v^{*}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Dans le deuxième cas, on écrit que l'énergie cinétique moyenne de translation des molécules n'est reliée qu'à la température du gaz selon la relation $\overline{{\epsilon }_c}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$. Et l'on retrouve facilement la même relation.

Pour les températures demandées, on obtient les valeurs numériques suivantes :

2. A la hauteur verticale maximale atteinte h par la molécule d'argon, l'énergie cinétique de la molécule au niveau du sol a été complètement échangée en énergie potentielle gravitationnelle

$\Delta \overline{{\epsilon }_c}+\Delta {\epsilon }_p=0$

En négligeant les variations de l'accélération de la pesanteur g avec l'altitude, $\Delta {\epsilon }_p=mgh$, et par ailleurs $\Delta {\epsilon }_c=-\frac{1}{2}m\overline{v^2}$. On en déduit

$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=mgh\text{soit}h=\frac{\overline{v^2}}{2g}$

L'application numérique donne $h=8694\text{m}$.

3. L'énergie cinétique moyenne de translation d'une molécule $\overline{{\epsilon }_c}$ vaut $\frac{1}{2}m{v^{*}}^2$.

On obtient à $0\text{°C}$

${\epsilon }_c=\text{5,65}.10^{-21}\text{J}$

4. Pour une molécule d'hydrogène, on obtient une vitesse $v^{*}=1845{\text{ms}}^{-1}$ et une hauteur $h=173525\text{m}$. L'énergie cinétique moyenne de l'hydrogène est bien sûr la même que pour l'Argon à $0\text{°C}$, car elle ne dépend que de la température.