Mise en contact de deux systèmes (2) - Mise en contact de deux systèmes (Deuxième partie)

Mise en contact de deux systèmes (2)

Mise en contact de deux systèmes (Deuxième partie)

Mise en contact de deux systèmes (Deuxième partie)

Énoncé

On reprend l'expérience décrite à l'exercice précédent (référence : NLP_E_M10_G02_10) pour évaluer les variations d'entropie de chaque corps et du système total dans cette transformation.

Calculer les variations d'entropie \DeltaS_1 et \DeltaS_2 de chacun des deux systèmes. Quels sont les signes de \DeltaS_1 et \DeltaS_2 (on supposera T_1 > T_2) ?
On suppose maintenant que {C_p}_2\textrm{ >> }{C_p}_1. En notant x = \frac{{C_p}_2}{{ C_p}_1} , on se place donc dans la limite où x\to\infty, c'est à dire que le corps (2) a une capacité calorifique “infinie”: il peut être considéré comme un thermostat vis-à -vis de (1). Calculer alors la variation d'entropie \DeltaS_2 (on arrêtera le développement au terme en \frac{1}{x}).
On se limite au cas {C_p}_1 = {C_p}_2. Déterminer le signe de la variation d'entropie totale \DeltaS_{1+2} du système constitué des deux corps (1) et (2).
Parmi les trois résultats concernant les signes de \DeltaS_1, \DeltaS_2, \DeltaS_{1+2}, lesquels pouvaient être prévu à partir d'un principe de la thermodynamique ? Lesquels vous semblent plausible compte-tenu de votre compréhension qualitative de l'entropie ?

Aide simple

Solution détaillée

Puisque la pression reste constante au cours de l'évolution, on a pour chaque corps dH = TdS (en effet dU = TdS−PdV et H = U +PV ; donc dans le cas général dH = TdS+V dP). Par ailleurs, d'après la définition des capacités calorifiques, on a dH = C_pdT . La comparaison de ces deux expressions de dH entraîne dS = C_p\frac {dT}{ T} . D'où S = C_p \ln T + cste.

On peut en déduire

\DeltaS_1 = {C_p}_1 \ln\frac{T_f}{ T_1} , \DeltaS_2 = {C_p}_2 \ln\frac{T_f}{ T_2}

avec T_f la température finale des corps. Si T_1 > T_2, alors T_1 > T_f > T_2. On en déduit \DeltaS_1 < 0 et \DeltaS_2 > 0.
En utilisant l'expression de T_f en fonction de x dans l'expression de \DeltaS_2, il vient

\DeltaS_2 ={ C_p}_2 \ln\frac{x +\frac{T_1}{T_2}}{ 1 + x} = {C_p}_2 \ln \bigg(f\Big(\frac{ 1}{ x}\Big)\bigg)

On développe tout d'abord la fonction f\Big(\frac{ 1}{ x}\Big) au premier ordre en \frac{1}{x}.

\frac{x +\frac{ T_1}{ T_2}}{ 1 + x} =\frac{ 1 +\frac{ 1}{ x}\frac{ T_1}{ T_2}}{ 1 + x}\simeq\Big( 1 +\frac{ 1}{ x}\frac{ T_1}{ T_2}\Big)\Big( 1 −\frac{ 1}{ x}\Big)\simeq 1 +\frac{ 1}{ x}\Big(\frac{ T_1}{ T_2} − 1\Big)

Puis, on développe le logarithme au premier ordre en \frac{1}{x}:

\ln\frac{ x +\frac{ T_1}{ T_2}}{ 1 + x}\simeq\ln \Big[ 1 +\frac{ 1}{ x}\Big(\frac{ T_1}{ T_2} − 1\Big)\Big]\simeq\frac{ 1}{ x}\Big(\frac{T_1}{ T_2} − 1\Big)

Ainsi,

\DeltaS_2 = {C_p}_1 \frac{T_1 − T_2}{ T_2}

Puisque T_f \simeqT_2 pour x \to\infty, on reconnaît pour l'expression de \DeltaS_2

\DeltaS_2 ={ C_p}_1 \frac{T_1 − T_f}{ T_2} = −\frac{ Q_1}{ T_2}

Dans cette dernière expression, on reconnaît la variation d'entropie d'un corps – à la température T_2 – qui se comporte comme un thermostat vis à vis du corps (1).
la variation d'entropie du système constitué des deux corps (1) et (2) s'écrit

\DeltaS_{1+2} = \DeltaS_1 + \DeltaS_2

Dans le cas où {C_p}_1 = {C_p}_2, on a

\DeltaS_{1+2}= {C_p}_1 \ln \frac{T_f^2}{ T_1T_2}={ C_p}_1 \ln\frac{(T_1 + T_2)^2}{ 4T_1T_2}

Quel est le signe de \DeltaS_{1+2} ?

Supposons que (T_1+T_2)^2 \leq 4T_1T_2. Alors, T^2_1 +T^2_2 +2T_1T_2\leq 4T_1T_2, soit T^2_1 +T^2_2 −2T_1T_2 \leq 0, c'est à dire (T_1 − T_2)^2 \leq 0. Ceci est impossible sauf si T_1 = T_2.

Ainsi (T_1 + T_2)^2 \geq4T_1T_2, et \DeltaS_{1+2}\geq 0.
Le résultat \DeltaS_{1+2}\geq 0 était prévisible puisque le système total est isolé. On retrouve ici le deuxième principe de la thermodynamique. En particulier, \DeltaS_{1+2} = 0 lorsqu'il y a équilibre thermique.

\DeltaS_1 < 0 et \DeltaS_2 > 0 semble plausible si l'on se rappelle l'idée générale que l'entropie croît quand le désordre croît, ce qui est en général le cas quand la température augmente.