1. L'appartenance de chaque point à un isotherme et une adiabatique permet, à l'aide des données du problème, de déterminer toutes les coordonnées des points.

2. Le signe obtenu pour le travail décide de la définition de l'efficacité de cette machine thermique. Une possibilité pour obtenir la dernière expression est de s'appuyer sur l'expression de la variation d'entropie du gaz du cycle.

1. L'appartenance de chaque point à une isotherme et une adiabatique permet, à l'aide des données du problème, de déterminer toutes les coordonnées des points. On se rappellera des relations liant par exemple pression et volume pour ces transformations : constante pour les adiabatiques, et constante pour les isothermes.

2. Exprimer la variation d'énergie interne du fluide au cours des isothermes.

   Le signe obtenu pour le travail décide de la définition de l'efficacité de cette machine thermique.

   Pour obtenir la dernière expression, on s'appuiera sur le deuxième principe de la thermodynamique qui donne la valeur minimale de la variation d'entropie du système : , avec les quantités de chaleur reçues des thermostats aux températures . On se rappellera que, sur un cycle, .

NLP_C_M11_G01

1. Point A : .

   Point B : et .

   Point D : et .

2. Le tracé du cycle dans le diagramme de Clapeyron est donné sur la figure 1 ci-dessous.

3. L'expression de l'échange de chaleur avec la source chaude est , numériquement .La quantité de chaleur donnée par le gaz à la source froide s'écrit : .

   Le travail échangé vaut . Cette machine thermique est donc un moteur thermique, du travail étant fourni par le gaz au cours d'un cycle.

4. Cette machine étant un moteur thermique, son rendement est évalué par

   

   Relation liant les volumes des quatre points du cycle :

   Cette relation peut être obtenue en écrivant que est constant le long des adiabatiques. On obtient . En reprenant les expressions littérales pour et obtenues plus haut et en exploitant cette dernière égalité, il vient :

   

   Pour retrouver cette expression, on peut également s'appuyer sur le second principe de la thermodynamique, suivant lequel sur un cycle , d'où . Il y a égalité dans le cas réversible, ce qui est le cas ici. Donc on peut écrire également .

   Numériquement, .

Figure 1

1. La donnée des volume, pression et température du gaz au point C définit complètement les variables thermodynamiques du gaz en particulier soin nombre de moles. Le volume au point du cycle dépend de ce nombre de moles suivant la loi des gaz parfaits. Ainsi :

   

   soit . Numériquement, on obtient .

   Le point est défini par son appartenance à l'isotherme passant par , et l'adiabatique passant par . Ainsi, et . L'élimination de entre les deux équations permet d'obtenir l'expression de :

   

   Numériquement, . La pression du gaz en veut . Les coordonnées du point peuvent s'obtenir à partir de la même technique que celle utilisée pour le point . On peut également se rappeler que pour une transformation adiabatique, le produit est constant. Ainsi : , soit . Numériquement, on obtient .

   Les points C et D étant à la même température, , d'où .

2. Le tracé du cycle dans le diagramme de Clapeyron est donné sur la figure 1 ci-dessous.

3. Les échanges de chaleur ont lieu au cours des compressions et détentes isothermes. La variation d'énergie interne du gaz parfait étant nulle au cours de ces transformations, et celles-ci étant supposées quasi-statiques, on a

   

   Après intégration, on obtient sur l'isotherme :  :

   De même sur l'isotherme  :

   Numériquement, est la chaleur reçue par le gaz de la source chaude, et est la chaleur donnée par le gaz à la source froide.

   Au cours du cycle , d'où . Cette machine thermique est donc un moteur thermique, du travail étant fourni par le gaz au cours d'un cycle.

4. Cette machine étant un moteur thermique, son rendement est évalué par

   

   Relation liant les volumes des quatre points du cycle :

   Cette relation aurait pu être obtenu et exploitée à la question 1). En se rappelant qu'au cours des transformations adiabatiques est constant, on a : et . Or, et .

   Donc, en multipliant les deux expressions de constante, on obtient , soit . En reprenant les expressions littérales pour et obtenues plus haut, il vient :

   

   qui se simplifie en 

   Pour retrouver cette expression, on peut également s'appuyer sur le second principe de la thermodynamique. Selon ce principe, la variation d'entropie du système au cours du cycle (qui est nulle) vérifie , d'où . Il y a égalité dans le cas réversible, ce qui est le cas ici.

   Donc on peut écrire également .

   Numériquement, .

Figure 1