L'Univers est composé des deux sources chaude (
) et froides (
), de la machine thermique (M), et du milieu extérieur (ext). La variation d'entropie de chaque composant de l'Univers est somme d'une entropie reçue conséquence de la chaleur reçue par ce composant, et d'une production d'entropie conséquence de l'irréversibilité des transformations. La variation d'entropie de l'Univers s'écrit :
On suppose le milieu extérieur comme isolé et stationnaire, donc
Au bout d'une succession de cycles, l'état final du fluide frigorigène est égal à son état initial donc
. Ainsi
.
Pour calculer la variation d'entropie des sources chaude et froide, on peut considérer leurs échanges de chaleur réversibles avec la machine thermique qui les font passer de leurs températures initiales (respectivement
et
) à la température finale
. Les échanges infinitésimaux de chaleur et d'entropie valent
et
. La variation d'entropie
de la source chaude vaut donc :
De même, la variation d'entropie
de la source froide vaut
.
Ainsi,
Si les échanges sont réversibles, alors
, s'ils sont irréversibles, alors
.
. Vu l'expression obtenue plus haut pour
, on en déduit que
, donc
Sur un cycle, le système reçoit de la chaleur de la source chaude, en cède à la source froide et fournit du travail au milieu extérieur. Selon le premier principe de la thermodynamique la somme de ces chaleurs et travail échangés est nulle. Après un grand nombre de cycles, les sources chaude et froide sont à la température
, et les échanges de chaleur comptés positivement quand reçus par le système valent :
Après ce grand nombre de cycles,
Cette expression indique que le travail fourni par la machine sera maximal quand
sera minimal, ce qui correspond au cas réversible. Alors
, et
. La première se trouve initialement à la température
. On suppose que ces deux sources n'échangent de la chaleur qu'avec la machine à laquelle on fait effectuer un très grand nombre de cycles.
