Le formalisme lagrangien est développé ici

• pour son élégante application aux systèmes de points matériels et problèmes de dimension élevée (problème à N corps),

• pour sa capacité à produire des équations d'évolution épurées, une efficacité essentielle dans les situations complexes.

  Ainsi en mécanique classique, ce formalisme est construit autour du concept d'énergie. Il permet ainsi de "contourner les difficultés" du formalisme newtonien en relation avec les notions de forces et de vecteurs.

• pour son application transversale aux différentes sciences appliquées,

  et surtout,

• avec la volonté délibérée d'assurer une initiation à la formalisation, à la modélisation en physique et cela, dès le second semestre de la deuxième année de Licence (L2).

  Cette dernière raison a nécessité la mise en place d'une formulation "allégée' de ce formalisme  : par conséquent, incomplète et imparfaite.

Les lois de minimisation, plus généralement d'optimisation, existent dans tous les domaines de la physique.

Elles sont notamment à l'origine des états d'équilibre privilégiés par la nature : équilibres dans les échanges, dans les actions.

La stabilité de ces états conditionne les choix dans l'évolution des systèmes.

Ce cours constitue une initiation au formalisme variationnel, certes appliqué à la mécanique mais l'expression y est si générale et si complète qu'elle autorise un transfert aisé vers d'autres domaines de la physique voire d'autres sciences.

Outre l'application directe des fonctionnelles et autres descriptions multivariables, un intérêt pédagogique et immédiat de cet enseignement est dans la mise en place des variables décrivant le système par une analyse de ses degrés de liberté.

Il permet ainsi de contourner les difficultés présentées par des formulations bien plus complètes, comme le formalisme vectoriel (mécanique newtonienne) et les forces de contact (ou de liaison), pas toujours évidentes à exprimer.Mais il s'agit juste d'un contournement... pour mieux y revenir et en appréhender autrement les difficultés.

En physique, l'intérêt du formalisme lagrangien est sa formulation unificatrice autour d'une fonction de Lagrange vérifiant un principe variationnel : le principe de moindre action.

Ce dernier trouve ses applications en mécanique, mais aussi en optique (principe de Fermat), en électrodynamique (les jauges en électromagnétisme)...

Il permet de structurer la description des systèmes et de construire des classes de problèmes.

Cette formulation a notamment permis à Hamilton de construire le formalisme canonique autour du hamiltonien ouvrant ainsi une voie vers la mécanique quantique.

Le formalisme lagrangien constitue ainsi une parfaite introduction à la modélisation en Physique.

Un autre atout de ce formalisme est issu de sa structuration en un schéma générique répétitif : il permet le traitement de problèmes à nombre élevé de degrés de liberté, comme par exemple en mécanique céleste où les interactions à distance peuvent être multiples, et où les forces de contact n'existent pas.

Avec son extension au formalisme canonique ou hamiltonien, le rôle des variables généralisées est amplifié grâce aux transformations canoniques. Les constantes du mouvement et autres grandeurs conservées (intégrales premières) sont aisément accessibles . Cela permet de réduire la dimension et la complexité de ces problèmes.

Mais l'élégance et la simplicité du formalisme lagrangien ne comportent ni schématisation exagérée, ni superficialité : le mouvement est toujours complétement décrit.

Ainsi les forces de liaison, complexes par leur nature et qui ne travaillent pas dans la plupart des situations mécaniques, disparaissent naturellement dans le formalisme lagrangien.

Elles sont présentes et reviendront dans ce cours par le biais du second principe de Newton, pour

→ la richesse de la comparaison, → l'apport pédagogique et → le complément culturel.

Mais également par le biais des multiplicateurs de Lagrange.

Chaque méthode apporte ses outils et un savoir-faire : une valeur ajoutée.