a. Par définition l'intensité électrique du courant total vaut
I=\int \!\!\! \int _S \vec{j}.\vec{dS} = jab
b. Dans les matériaux usuels (ni supra, ni semiconducteurs), on peut écrire la forme locale de la loi d'Ohm (loi phénoménologique valable dans les gammes usuelles de champ électrique et de fréquence) en notant \vec{E} le champ électrique
\vec{j} = \sigma \vec{E}
Le courant étant parallèle à Oz
on a \vec{E}= -\vec{grad}U
avec U le potentiel électrique. Donc si on note V la différence de potentiel entre les deux extrémités du barreau comme \vec{j} est homogène, \vec{E} l'est aussi et on a
-\vec{\mbox grad} U = \frac{V}{l}\vec{e}_z=\frac{\vec{j}}{\sigma}
et
V = \frac{jl}{\sigma}
(on pouvait également écrire V = U_A - U_B = \int \vec{E}.\vec{dl})
or j=\frac{I}{ a b}
donc
V=\frac{Il}{\sigma a b}
on retrouve la forme macroscopique de la loi d'Ohm
V=RI
avec
R = \frac{l}{\sigma a b}
\sigma est une propriété intrinsèque du matériau mais on voit que la résistance dépend de la forme géométrique du barreau : elle est proportionnelle à sa longueur et inversement proportionnelle à sa surface. De plus pour établir cette formule nous avons non seulement supposé une dépendance phénoménologique simple entre la cause (le champ électrique) et la conséquence (le flux de courant), comme en général l'a fait Onsager pour les phénomènes proches de l'équilibre, mais également une homogénéité du champ dans le barreau. Des lois similaires sont valables en transport de la chaleur ou des particules (lois de Fourier et de Fick respectivement) ou dans les phénomènes couplés (effets Peltier ou Seebeck).
c. Ici nous n'avons qu'une espèce de porteurs de charge (vraisemblablement des électrons) donc on peut écrire
\vec{j} = \rho \vec{v}
par définition, sinon il faudrait sommer cette loi sur tous les porteurs de charge (présence d'ions différents en chimie par exemple).