a. Il s'exerce sur cette tranche de barreau la force de Laplace qui vaut
\vec{dF} = I \vec{dz} \wedge \vec {B}
or \vec{B} = B \vec {e}_y et \vec{dz} = dz \vec {e}_z
donc
\vec{dF} = -IBdz \vec{e_x}
On pourrait mesurer le champ magnétique en mesurant cette force (par une balance de Cotton par exemple, avec une intensité de plusieurs ampères), ce qui a été traditionnellement fait avant de disposer de matériaux semiconducteurs à densité de porteurs de charge suffisamment élevée pour justifier l'emploi de l'effet Hall.
b. localement il s'exerce sur chaque porteur de charge dq la force de Lorentz
\vec {dF}= dq (\vec{E}+ \vec{v} \wedge \vec {B})
soit en oubliant la composante « naturelle » suivant Oz (sinon il n'y aurait pas de courant)
\vec {dF}= dq \frac{\vec{j}}{\rho} \wedge \vec {B}
\vec {dF}= \rho d\tau \frac{\vec{j}}{\rho} \wedge \vec {B}
\vec {dF}= d\tau \vec{j} \wedge \vec {B}
or \vec{j} = j \vec{e}_z et \vec{B} = B \vec {e}_y
donc
\vec {dF} = -d\tau jB \vec{e_x}
c. La force créée par \vec{E_2} est également une force de Lorentz
\vec {dF}_2= dq \vec{E}_2 = \rho d\tau \vec{E}_2
donc pour annuler la composante suivant \vec{e_x}} de \vec{dF} on trouve
\vec {dF}_2=- \vec {dF}=d\tau jB \vec{e_x}
donc
\vec{E}_2 = \frac{ jB}{\rho} \vec{e_x}
d. on a
V_H=\int _0 ^a \vec{E}_2 . \vec{dl} = \frac{ jBa}{\rho}
or I=jab donc
V_H= \frac{ IB}{b\rho}= \frac{R_HIB}{b}
avec R_H constante de Hall du matériau égale à \frac{ 1}{\rho}
e. R_H=\frac{bV_H}{Ib}=2.10^{-10} U.S.I et \rho=5.10^{9}{C.m}^{-3} ce qui est une valeur très élevée même pour un semi-conducteur moderne. On voit que même pour une intensité et un champ magnétique élevés la tension de Hall est très faible ce qui nécessite une électronique très sensible et un très bon blindage dans les teslamètres. Néanmoins cela implique une très bonne sensibilité (par rapport à des matériaux à densité de charges de porteurs moins élevée) et c'est la méthode standard de mesure des champs magnétiques, à l'aide de semi-conducteurs à forte densité de charge.