Si la bobine est infinie on a
B = \mu _O n^2 I a
à l'intérieur en reprenant l'expression du champ d'un solénoïde à n^2a spires par unité de longueur.
Pour r>a où r est la distance à l'axe seuls contribuent les éléments de r à 2a soit
B(r) =\int _r ^{2a} dB
B(r) =\int _r ^{2a} \mu _O n (n dr I)
B(r) = \mu _O n ^2 (2a-r) I
L'inductance propre L est définie par
\Phi=LI
où \Phi est le flux total à travers la bobine du champ magnétique \vec{B} créé par le courant I
Mais ici au vu de la suite du problème il est plus commode de calculer l'énergie magnétique totale
W_m = \frac{1}{2} L I ^2 = \int \!\!\! \int \!\!\! \int \frac{B^2}{2\mu _0} d\tau
et d'en déduire L.
On trouve donc
W_m = \frac{ (\mu _0 n^2 a I) ^2}{2 \mu _0 } \pi a^2 l + \frac{ (\mu _0 n^2 a I) ^2}{2 \mu _0 } \int _a ^ {2a} ( 2a-r) ^2 2 \pi r dr l
W_m =\frac{11 \pi }{12} \mu _0 n^4 a ^4 l I ^2
et
L {==}\frac{11 \pi }{6} \mu _0 n^4 a ^4 l