Le théorème de Gauss s'écrit, pour une surface quelconque S enserrant un volume V contenant une quantité totale de charges \Sigma Q int
\int \!\!\! \int _S \vec{E}.\vec{dS}=\frac{\Sigma Q int}{\epsilon _0}=\int \!\!\! \int \!\!\! \int _V \rho d\tau
où \vec{E} est le champ électrique, ici radial et ne dépendant que de r par symétrie. La densité de charges \rho vaut |e|(n_i-n_e)où |e| est la charge élémentaire de l'électron (négative). Entre les sphères de rayon r et r+dr il reste donc
4\pi ( (r+dr)^2 E(r+dr) -r^2E(r)) =\frac{|e|(n_i-n_e) 4\pi r^2 dr}{\epsilon _0}
r^2 (E+dE)+2rdr(E+drdE)-r^2E =\frac{2|e|n_0}{\epsilon _0} \sinh \frac{eV_e}{k_bT} r^2 dr
r^2 \frac{dE}{dr}+2rE =r^2 \frac{2|e|n_0}{\epsilon _0} \sinh \frac{eV_e}{k_bT}
en négligeant les termes d'ordre 2 ou supérieur et en introduisant la forme des densités donnée dans l'énoncé.
Or \vec{E}=-\vec{\mbox{grad}}V donc E(r)=-\frac{dV}{dr} et il vient
\frac{d^2V}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dV}{dr} =- \frac{2|e|n_0}{\epsilon _0} \sinh \frac{eV_e}{k_bT}
nous constatons que nous retombons sur l'équation de Poisson en sphériques
\Delta V +\frac{\rho}{\epsilon _0}=0