V=\frac{C}{r}e^{-r/l}

Dans ce cas on peut assimiler \sinh x à x et il reste

\frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} (rV)= \frac{2e^2n_0}{\epsilon _0 k_bT }V

en posant U=rV (comme dans la recherche de la solution de propagation d'une onde sphérique) il vient

\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{2e^2n_0}{\epsilon _0 k_bT }U

\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{1}{l^2}U

avec l=\sqrt {\epsilon _0 k_bT}{2e^2 n_0} et finalement

V=\frac{C}{r}e^{-r/l}