Oscillateurs mécaniques
Étude d'un pendule simple

On considère le mouvement d'un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement sont inexistantes. Le pendule est constitué d'un objet ponctuel de masse , accroché par l'intermédiaire d'un fil rigide à un point fixe (figure 3).

Figure 3

On suppose le fil rigide sans masse. Sa longueur est = 1 m. On note l'angle du fil avec la verticale. Son orientation est précisée sur la figure 3. L'ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre, considéré comme uniforme. On écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle et on le lâche sans vitesse initiale.

Question 1 : Oscillations de faible amplitude

a

Énoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel.

b

Montrer que la trajectoire du point matériel est plane.

c

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'angle en fonction du temps.

Donner l'expression de la pulsation du mouvement.

d

20 périodes correspondent à une durée de 40,12 s. En déduire une valeur de .

Question 2 : Cas général

On se place maintenant dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par l'énergie mécanique, par l'énergie potentielle et par l'énergie cinétique du pendule.

a

Donner les expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de et (On prendra comme origine pour l'énergie potentielle  = 0 pour = 0)

b

En déduire que l'équation de la trajectoire dans le plan de phase du point de coordonnées et peut se mettre sous la forme:

c

L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée à la figure 4. En reprenant les notations de cette figure:

Figure 4
  • Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à  ? À quelle situation correspondent les points de la figure 4 ?

  • Quelles sont les courbes correspondantes:

i. À un mouvement oscillatoire périodique autour d'une position d'équilibre stable?

ii. À un mouvement de révolution?

Michel HENRY - Université du Maine Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de ModificationRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)