Réponse 1
a
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel est vérifié le principe de l'inertie (ou première loi de Newton): un point matériel soumis à aucune interaction extérieure, est au repos ou a un mouvement rectiligne et uniforme.
b
Dans le cadre de la mécanique Newtonienne, les trois lois suivantes peuvent s'appliquer:
principe de l'inertie (définition d'un référentiel galiléen);
principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton);
principe des actions réciproques.
La mécanique Newtonienne ne comprend donc pas la mécanique relativiste, puisque le principe d'action et de la réaction n'est pas général en relativité (rappelons que ce principe est lié à une propagation instantanée des interactions).
c
Dans le cas du gaz parfait monoatomique, les atomes sont supposés identiques ponctuels (i.e. on néglige leur diamètre devant la distance moyenne qui les sépare), rigides; toutes les collisions sont supposées conserver l'énergie (on parle de « collisions élastiques »). Enfin, les vecteurs positions
et vitesses
des atomes sont supposés distribués au hasard (on parle de «chaos »). Dans un fluide (comme un liquide), comme pour le «gaz » parfait, un élément de volume du fluide ne subit que des actions normales à ses surfaces (la viscosité est donc nulle).
Réponse 2
a
Allongement du ressort à l'équilibre :
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Système : bille de masse
Bilan des forces :
À l'équilibre : on a
(principe fondamental de la dynamique), soit en projetant selon
:
.
b
Le poids et la tension sont des forces conservatives ; Le système est donc conservatif et l'énergie mécanique se conserve :
.
L'abscisse
repère la masse
par rapport à sa position d'équilibre
.
À un instant
la résultante des forces est :
.
Avec la condition d'équilibre on a
qui dérive de l'énergie potentielle
.
L'énergie cinétique :
et l'énergie mécanique :
.
(équation différentielle de l'oscillateur harmonique).
On a donc
(pulsation des oscillations)et la période des oscillations
.
Application numérique
Équation horaire
du mouvement :
Conditions initiales
Les solutions sont
et
et donc
:
c
On a
et donc
décrit un cercle de rayon
dans le sens inverse du sens trigonométrique.
La nature circulaire de la courbe atteste du caractère harmonique (ou quasi-sinusoïdal) des oscillations.
De plus,
décrit une courbe fermée caractéristique d'un mouvement périodique.
Réponse 3
a
L'allongement à l'équilibre du ressort est différent, puisque la bille est soumise, en plus de son poids et de la force de rappel du ressort, à la poussée d'Archimède de l'huile. On peut d'avance affirmer que le ressort sera moins étiré.
Bilan des forces s'exerçant sur la bille:
(poussée d'Archimède)
À l'équilibre :
b
Remarque :
est homogène à une pression x temps et parfois exprimée en Pa.s.
c
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la bille dans le référentiel terrestre supposé galiléen :
Avec :
(condition d'équilibre),
la pulsation propre de l'oscillateur
.
d
Avec
e
Le discriminant
de l'équation caractéristique
associée à l'équation différentielle du mouvement vaut :
. On distingue 3 cas selon la valeur de
:
Q< ½ régime apériodique
Q = ½ régime critique
Q> ½ régime pseudo-périodique
Pour
, le régime est pseudo-périodique et les solutions de l'équation caractéristiques sont :
Les solutions de l'équation différentielle du mouvement sont de la forme :
avec
La pseudo-période
du mouvement
Le « décrément logarithmique »
traduit l'amortissement de l'amplitude des oscillations sur une période. On a :
À des intervalles de temps successifs et égaux à une pseudo-période, on mesure les élongations maximales du ressort. Les valeurs expérimentales obtenues sont reportées dans le tableau suivant:
On a
En choisissant la première valeur de x comme origine des oscillations (n =0), au bout de n périodes on a :
Si on trace
en fonction de n on peut espérer obtenir une droite de pente
.
On obtient
= 0,3 et
Soit :
Application numérique
et
.
