Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel évalué en un point est égale à la somme des moments des forces qui lui sont appliquées en , à condition que ce dernier soit fixe.

(O point fixe dans le référentiel d'étude)

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et l'on considère le point matériel . Les forces qui lui sont appliquées sont son poids et la tension du fil auquel il est accroché.

Si l'on applique la relation fondamentale de la dynamique à , on a :

Projetée selon , cette relation donne: d'où, en intégrant, (puisque ) et donc pour tout car .

En conséquence, le mouvement du pendule a lieu dans le plan .

Notons le référentiel terrestre supposé galiléen. On applique le théorème du moment cinétique au point matériel en fixe:

D'après la symétrie du problème, un passage en coordonnées polaires paraît judicieux.

(ligne d'action passe par )

Oscillations de faibles amplitudes avec On obtient l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique de pulsation .

= 40,12/20=2,006 s. ce qui donne

L'énergie cinétique :

Énergie potentielle: (signe - car l'axe des x est orienté vers le bas) avec la convention d'origine (la force de tension ne travaille pas donc seule l'énergie potentielle de pesanteur intervient).

L'énergie mécanique du pendule est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle : Si l'on néglige les forces des frottements, le pendule n'est soumis à aucune force non conservatrice et son énergie mécanique se conserve. Soit le point de coordonnées et :

• Trajectoires de phase : cas   : pour que le pendule fasse un tour complet, il faut qu'il puisse atteindre la position avec au minimum , soit .

Si , alors le mouvement du pendule ne sera pas révolutif mais oscillatoire et périodique: cela correspond aux courbes 7-8 et 7'-8'.

Les points correspondent aux points pour lesquels et . Ces points sont caractérisés par un changement de signe de , et donc par un demi-tour du pendule:

On est dans le cas où . Ce sont les trajectoires 3 et 4

• Quelles sont les courbes correspondantes ?

i. Les positions d'équilibre stables du pendule correspondent à . De plus, une trajectoire périodique se caractérise par une courbe fermée dans le plan de phase.

D'après ces considérations, les courbes 7 et 8 correspondent à un mouvement oscillatoire périodique autour de la position stable . Les courbes 7' et 8' sont, elles, représentatives d'un mouvement oscillatoire périodique autour de la position stable (identique à ).

À noter que la courbe 7 (ou 7'), circulaire, traduit le caractère harmonique (ou quasi-sinusoïdal) des oscillations.

En revanche, la courbe 8 (ou 8') est relative à un mouvement d'amplitude rad, soit , et le fait qu'elle soit non circulaire est dû au caractère non sinusoïdal des oscillations de forte amplitude.

ii. Au cours d'un mouvement de révolution, le pendule tourne toujours dans le même sens, et donc sa vitesse garde un signe constant, tout en étant maximale pour et minimale pour : ces caractéristiques sont celles des courbes 1 et 2 pour lesquelles   et des courbes 5 et 6 pour lesquelles .