$v\left(t\right)=\frac{q\left(t\right)}{C}eti\left(t\right)=-\frac{dq\left(t\right)}{dt}$

${\omega }_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{4.10^{-2}.22.10^{-9}}}=33,7.10^{3}rad.s^{-1}$

$Q_o=\frac{\sqrt{L}}{R\sqrt{C}}=\frac{\sqrt{4.10^{-2}}}{135\sqrt{22.10^{-9}}}=10.$

Loi des mailles : $u\left(t\right)=u_R+u_L+u_C$

$u\left(t\right)=-Ri\left(t\right)-L\frac{di}{dt}+v\left(t\right)aveci\left(t\right)=-\frac{dq\left(t\right)}{dt}=-C\frac{dv}{dt}\Rightarrow u\left(t\right)=RC\frac{dv}{dt}+LC\frac{d^{2}v}{d{t}^2}+v\left(t\right)$

$\frac{d^{2}v}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}v\left(t\right)=\frac{1}{LC}u\left(t\right)$

et avec ${\omega }_o^2=\frac{1}{LC}$ et $\frac{{\omega }_o}{Q_o}=\frac{R}{L}$ on obtient :

$\frac{d^{2}v}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_o}{Q_o}\frac{dv}{dt}+{\omega }_o^{2}v\left(t\right)={\omega }_o^{2}u\left(t\right)$

Le dipôle $\left(AB\right)$ est en régime forcé car on impose une tension extérieure, sinusoïdale de pulsation $\omega$, $u\left(t\right)$ à ses bornes.

Si on applique $v\left(t\right)$ aux bornes d'un oscilloscope utilisé en mode balayage, on observe une variation sinusoïdale de Français : $v\left(t\right)$ de même pulsation $\omega$ .

. Notation complexe : $\underset{¯}{u\left(t\right)}=\underset{¯}{u}{e}^{j\omega t}=u{e}^{j\omega t}$ et $\underset{¯}{v\left(t\right)}=\underset{¯}{v}{e}^{j\omega t}=v{e}^{j\varphi }{e}^{j\omega t}$.

On a : $\frac{d\underset{¯}{v}}{dt}=j\omega \underset{¯}{v}{e}^{j\omega t}$ et $\frac{d^2\underset{¯}{v}}{d{t}^2}=-{\omega }^2\underset{¯}{v}{e}^{j\omega t}$ . En simplifiant par $e^{j\omega t}$ , l'équation différentielle devient :

$-{\omega }^2\underset{¯}{v}+\frac{{\omega }_o}{Q_o}\left(j\omega \right)\underset{¯}{v}+{\omega }_o^2\underset{¯}{v}={\omega }_o^2\underset{¯}{u}\Rightarrow [{\omega }_o^2-{\omega }^2+j\frac{\omega {\omega }_o}{Q_o}]\underset{¯}{v}={\omega }_o^2\underset{¯}{u}\Rightarrow$

$H\left(j\omega \right)=\frac{\underset{¯}{v\left(t\right)}}{\underset{¯}{u\left(t\right)}}=\frac{\underset{¯}{v}}{\underset{¯}{u}}=\frac{1}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_o^2}+\frac{j}{Q_o}\frac{\omega }{{\omega }_o}}=\frac{1}{1-x^2+\frac{j}{Q_o}x}$

avec $x=\frac{\omega }{{\omega }_o}$

On impose. On a :

$\left|\underset{¯}{v}\right|=\frac{u}{\sqrt{(1-x^2{)}^2+\frac{x^2}{Q_o^2}}}=vetarg\left(\underset{¯}{v}\right)=\varphi =arg\left(\underset{¯}{u}\right)-arg(1-x^2+\frac{jx}{Q_o})=-arg(1-x^2+\frac{jx}{Q_o})$

$\tan \varphi =-\frac{x}{Q_o(1-x^2)}$

$x=\frac{\omega }{{\omega }_o}=0,935$ et $Q_o=10$ soit $\tan \phi =-0,74et\phi =-36,5°\to v\left(t\right)$ est en retard sur $u\left(t\right)$.

On a $\underset{¯}{u_{AB}}=\underset{¯}{Zi}et{u}_{AB}=-Ri-L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=-Ri-L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt\left(cari\right(t)=-\frac{dq}{dt})$

$\underset{¯}{u_{AB}}=[-R-jL\omega -\frac{1}{jC\omega }]i \Rightarrow \underset{¯}{Z}=-[R+j(L\omega -\frac{1}{C\omega }\left)\right]$

Avec : ${\omega }_o^2=\frac{1}{LC},onaL=\frac{1}{C{\omega }_o^2}et{Q}_o^2=\frac{L}{R^{2}C}=\frac{1}{R^2{C}^2{\omega }_o^2}\Rightarrow C=\frac{1}{R{\omega }_o{Q}_o}etL=\frac{R{Q}_o}{{\omega }_o}$:

$\underset{¯}{Z}=-[R+jL\omega -\frac{j}{C\omega }]=-[R+jR{Q}_{o}x-\frac{jR{Q}_o}{{\omega }_o}]\Rightarrow \underset{¯}{Z}=-R[1+j{Q}_o(x-\frac{1}{x}\left)\right]$

On a : $\left|\underset{¯}{Z}\right|=Z=R\sqrt{1+Q_o^2(x-\frac{1}{x}{)}^2}$

$Z=135\sqrt{1+100(0,935-\frac{1}{0,935}{)}^2}=227\Omega$

On a $u\left(t\right)=U_o\sqrt{2}\cos \omega t$ et $i\left(t\right)=I_o\sqrt{2}\cos (\omega t+\phi )$ .

$v\left(t\right)=\frac{q}{C}=-\frac{1}{C}\int idt\Rightarrow \underset{¯}{v}=-\frac{1}{jC\omega }\underset{¯}{i}\Rightarrow \phi =Arg\underset{¯}{i}=Arg\underset{¯}{v}-Arg\left(jC\omega \right)=\varphi -\frac{\pi }{2}$

on a $\underset{¯}{u}=-\underset{¯}{Zi}\Rightarrow \left|\underset{¯}{i}\right|=I_o\sqrt{2}=\frac{\left|\underset{¯}{u}\right|}{\left|\underset{¯}{Z}\right|}=\frac{U_o\sqrt{2}}{Z}$ : $I_o(\omega )$ est maximale quand $Z$ est minimale. Il est évident que $Z$ est minimale quand le terme $(x-\frac{1}{x}{)}^2$ est minimale c'est-à-dire quand il est nul soit : $x^2=1\Rightarrow \omega ={\omega }_o$ .

Le maximum d'intensité dans le dipôle $AB$ correspond donc à une pulsation $\omega$ du générateur égale à la pulsation propre ${\omega }_o$ du circuit $(L,C)$ : c'est la résonance d'intensité.

Si $x^2=1\Rightarrow \omega ={\omega }_o$ alors $Z=R$ .

$I_o=\frac{U_o}{Z}\Rightarrow I_{oR}=\frac{U_o}{R}$ et pour $x=1$ alors $\left|\underset{¯}{H}\right(j{\omega }_o\left)\right|=Q_o\Rightarrow V_o=Q_o{U}_o$ .

$Q_o=10etUo=5,4V,I_o=40\text{mA} et{V}_o=54V$ d'où l'appellation de facteur de surtension $Q_o$.

La bande passante à moins $3dB$ du dipôle $AB$ pour la résonance en intensité correspond à la bande en fréquence $[f_{min};f_{max}]$ telle que :

$I_o\left(f_{min}\right)=I_o\left(f_{max}\right)=\frac{I_{oR}}{\sqrt{2}}$ et alors

$\forall f\in [f_{min} ;f_{max}],I_o\left(f\right)\ge \frac{I_{oR}}{\sqrt{2}}=\frac{U_o}{\sqrt{2}R}$

$\Delta f=f_{max}-f_{min}$ : bande passante à $–3dB$

Sachant que $\omega =2\pi f$ , on peut calculer la largeur de la bande passante en évaluant $\Delta \omega$ en $rad.s^{-1}$ puis revenir à $\Delta f=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$

Il faut donc résoudre l'équation :

$I_o=\frac{U_o}{Z}=\frac{I_{oR}}{R\sqrt{2}}=\frac{U_o}{R\sqrt{2}}\Rightarrow Z=R\sqrt{2}\Rightarrow Z^3=2R^2$

On a donc : $2=1+Q_o^2(x-\frac{1}{x}{)}^2\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\pm \frac{1}{Q_o}\Rightarrow x^2\pm \frac{1}{Q_o}x-1=0$

Le discriminant de cette équation du second degré vaut $\Delta =\frac{1}{Q_o^2}+4>0$. Pour un signe donné(+ ou -) dans l'équation de départ, on obtient deux solutions réelles de signes opposés (produit des racines = ). Comme $x$ doit être positive (rapport de 2 pulsations) seules les solutions positives sont acceptables.

$x^2+\frac{1}{Q_o}x-1=0\Rightarrow x_{\text{+}}=-\frac{1}{2Q_o}+\frac{1}{2Q_o}\sqrt{1+4Q_o^2}$

$x^2+\frac{1}{Q_o}x-1=0\Rightarrow x_{\text{+}}=+\frac{1}{2Q_o}+\frac{1}{2Q_o}\sqrt{1+4Q_o^2}$

$x=\frac{\omega }{{\omega }_o}\Rightarrow \Delta \omega ={\omega }_o\Delta x={\omega }_o[x_{\text{-}}-x_{\text{+}}]=\frac{{\omega }_o}{Q_o}=3370 rad.s^{-1}$

$Q_o=\frac{{\omega }_o}{\Delta \omega }$ est appelé facteur de qualité et caractérise l'acuité de résonance.

Lorsque $Q_o$ est grand, pour ${\omega }_o$ donnée, $\Delta \omega$ est faible : on parle alors de résonance aiguë, le circuit $(R,L,C)$ est dit sélectif en fréquences, l'amplitude du courant ne prend des valeurs importantes que sur une petite gamme de fréquences.

Lorsque $Q_o$ est petit, pour ${\omega }_o$ donnée, $\Delta \omega$ est grand : on parle alors de résonance floue, le circuit $(R,L,C)$ est alors peu sélectif en fréquences, il ne privilégie pas vraiment de fréquences.