Figure 3 : Coupe du navire

Une ligne de courant est par définition une ligne en tout point tangente au champ de vitesse. Elle ne correspond en général pas au trajet suivi par une particule fluide au cours du temps. On peut toutefois montrer qu'il y a coïncidence en régime permanent. En intégrant la relation (1) le long d'un chemin quelconque allant d'un point à un point , on obtient :

soit,

Si maintenant on impose au trajet d'être une ligne de courant , est orthogonal à la vitesse et donc au vecteur déplacement élémentaire . Il s'ensuit que :

qui généralise la relation de Bernouilli à un régime dépendant du temps.

Le fluide étant incompressible, le débit massique à travers la conduite se conserve et ce, même lors du régime transitoire. Comme la conduite est de section constante, on en déduit que . On peut en donner une preuve plus formelle mais équivalente : la relation de conservation de la masse (ou relation de continuité) s'écrit :

Comme  est constante, on a avec . D'où . Ainsi, la vitesse le long de la conduite ne dépend que du temps.

Considérons une ligne de courant joignant deux points de la conduite et . On peut écrire, d'après ce qui précède : . Si l'on prend au niveau de la vanne où règne une pression , on a

Prenons une ligne de courant allant d'un point de la surface libre jusqu'au point d'abscisse situé à l'entrée de la conduite (voir figure 4). On aura alors,

Figure 4 : Ligne de courant C → D

Compte tenu de l'expression établie à la question précédente, il vient :

Nous allons montrer que l'on peut approximer cette égalité par . Supposons pour cela que les sections du réservoir et de la conduite soient respectivement et avec . La conservation du débit impose d'où . On pourra donc négliger devant . De même, on a : , ce qui permet de négliger devant tant que n'est pas trop petit ( tant que l'on n'a pas ). L'approximation du régime stationnaire dans le réservoir revient à négliger les variations de hauteur d'eau ainsi que les variations de vitesse d'écoulement dans le réservoir. On obtient alors l'équation différentielle vérifiée par dans la conduite :

Dans la limite , la vitesse tend vers une constante (régime permanent). Il s'agit donc de résoudre :

qui est à variables séparées. Puisque

la vitesse a pour expression :

Si la vanne est fermée, la pression en n'est plus connue a priori et ne peut plus servir de référence. On a toujours :

La pression au point peut se calculer comme à la question précédente en considérant la ligne de courant . L'hypothèse du régime stationnaire dans le réservoir tient toujours. Elle permet d'écrire : , d'où

Calculons les dérivées partielles de la pression :

La pression est maximale en à l'instant .

En particulier, le terme de gauche s'écrit bien et non comme pourrait le suggérer une analogie trop rapide avec la mécanique du point. Le terme de droite fait intervenir, outre des forces volumiques comme la pesanteur ou la pression, des forces de viscosité ainsi que des forces liées à la compressibilité du liquide. Ici, le fluide est supposé incompressible et non visqueux, ce qui permet d'écrire . En tenant compte de

on obtient la relation (1) donnée dans l'énoncé.