On appelle vecteur densité de courant de molécules le vecteur \overrightarrowj(M) tel que le nombre \deltaN de molécules traversant en un intervalle de temps dt une surface élémentaire dS centrée au point M et de normale \overrightarrown est

\deltaN=\overrightarrowj(M)\cdot\overrightarrowndSdt \overrightarrowj \cdot \overrightarrow {dS}dt.

\deltaN est compté positivement si les particules traversent dans le sens de la normale et négativement sinon. En l'absence d'un mécanisme de création ou disparition de particules, l'équation locale de conservation de la matière (appelée aussi équation de continuité) s'écrit

\frac{\partialp}{\partialt}+div\overrightarrowj=0,

où \rho(M) est la densité volumique de molécules (voir également les rappels de mécanique des fluides).

Dans un fluide animé d'un mouvement macroscopique, la relation entre \overrightarrowj(M) et \overrightarrowv(M) la vitesse locale du fluide est \overrightarrowj=\rho\overrightarrowv. Ainsi, \overrightarrowj=\overrightarrow0 dans un fluide macroscopiquement au repos, situation à laquelle nous nous restreindrons dans ce qui suit. Même si le fluide est globalement au repos, on peut s'intéresser au mouvement de particules marquées, ou au mouvement de molécules de colorant (par exemple de l'encre dans de l'eau). Soit p^\star(M)la densité volumique des particules marquées ou du colorant.

Le signe - traduit la tendance qu'ont les particules à migrer des régions "riches" ( \rho^{\star} élevé) vers les régions "pauvres". Dans le cas où l'on s'intéresse au mouvement d'un fluide dans lui-même, on parle d'autodiffusion.

En considérant que le coefficient de diffusion D ne dépend pas de la position M, l'équation de conservation de la matière s'écrit

\frac{\partial\rho^\star}{\partialt}=D\Delta\rho^\star ,

où \Delta désigne l'opérateur laplacien. Cette équation est l'équation de la diffusion.