Thermodynamique - Partie B

Thermodynamique

Rappel de cours
Problèmes
- Etude d'un lac gelé en formation
- Bilans entropiques pour des transformations isothermes ; principe du thermocouple
  - Détentes et compressions isothermes
  - Principe du thermocouple
    - Partie A
    - Partie B
Solutions

Effet Thomson

Attention

Cette seconde partie doit obligatoirement être faite après la première

En fait, $e$ ne varie pas de façon monotone. A des $Δ T$ élevés, on observe un infléchissement de la courbe $e (Δ T)$ , puis un changement de signe de sa pente. On constate que l'on peut paramétriser $e$ sous la forme :

$e = α Δ T - β Δ (T^{2})$ où $Δ (T^{2}) = T_{1}^{2} - T_{2}^{2}$

et $β$ est de même signe que $α$ .

Un tel comportement ne peut être interprété par le seul effet PELTIER. On se propose de l'expliquer par l'intervention d'un autre effet quasi-statique, l'effet THOMSON. Là encore, on négligera l'effet JOULE et la conduction de la chaleur par les fils.

Rappel

Soit un fil de métal $M$ parcouru par un courant $i$ , où il existe un gradient de température . On constate que chaque portion de fil ${d x}$ échange de la chaleur avec le milieu extérieur (effet THOMSON). Pendant une seconde, pour le fil tout entier, on a :

$Q_{M} = \int_{f i l} i h_{M} (T) \frac{d T}{d x} d x = i \int h_{M} (T) d T$ .

Le signe de la chaleur échangée dépend du sens du courant, car le signe de $d T$ dépend des bornes en température de l'intégrale. Mais il dépend également du signe de $h_{M}$ , donc de la nature du métal $M$ .

On ne connaît pas les signes de $h_{A}$ et de $h_{B}$ a priori mais ils sont opposés.

Question 1

Un bilan des échanges de chaleur survenant par seconde a été effectué dans la première partie. Réécrire ce bilan en tenant compte des échanges entre le thermocouple et la pièce dûs à l'effet THOMSON (dont on ne connaît pas encore le signe).

Question 2

Déduire de l'application du premier principe de la thermodynamique au système "thermocouple" une expression de $e$ en fonction de $V_{A B} (T)$ , $V_{A B} (T_{2})$ et d'une intégrale contenant $h_{A} (T)$ et $h_{B} (T)$ (on retrouve l'expression trouvée en première partie si on néglige l'effet THOMSON).

Question 3

Exprimer la variation de l'entropie du système par seconde. En déduire une relation entre $V_{A B} (T_{1})$ , $T_{1}$ , $V_{A B} (T_{2})$ , $T_{2}$ et une intégrale contenant $h_{A}$ et $h_{B}$ .

Question 4

Dériver les équations trouvées aux questions 2. et 3. par rapport à $T_{1}$ . Poser ensuite : $T = T_{1}$ et en déduire les expressions de la f.e.m. $V_{A B} (T)$ et de $h_{A} (T) - h_{B} (T)$ en fonction des dérivées de $e$ par rapport à $T$ .

Question 5

Donner les lois de variations approchées de $V_{A B} (T)$ et de $h_{A} (T) - h_{B} (T)$ en utilisant la loi empirique :

$e = α Δ T - β Δ (T^{2})$ , où $Δ T = T - T_{2}$ et $Δ (T^{2}) = T^{2} - T_{2}^{2}$ .

De quel signe est l'effet THOMSON ? Cette chaleur est-elle reçue ou donnée par le thermocouple ?

Question 6

Donner, à partir des résultats de la question précédente, une nouvelle expression du rendement du thermocouple $η_{1} = - W / Q ʹ$ , en prenant en compte, dans la quantité de chaleur $Q_{1}^{ʹ}$ , la chaleur éventuellement reçue de la pièce en plus de celle reçue de la source chaude.

Question 7

On constate que $η_{1}$ est différent de $η_{0}$ . Peut-on dans ces conditions parler d'un cycle réversible ?

Parmi les explications suivantes, laquelle vous semble la plus appropriée à justifier votre réponse ?

Le transfert de chaleur de la source chaude vers la source froide n'est plus adiabatique à cause de l'effet THOMSON (échange de chaleur avec la pièce).

L'entropie de l'Univers ne peut que croître.

L'échange de chaleur dû à l'effet THOMSON n'est pas isotherme, car la température le long des fils varie tandis que celle de la pièce est constante.

L'effet THOMSON doit son nom à THOMSON, et pas à CARNOT.

Question 8

Pour le thermocouple étudié, la soudure $σ_{2}$ est plongée dans de la glace fondante à $T_{2} = 0 ° C$ . On observe que $d e / d T$ s'annule au voisinage de $T_{1} = T_{0} = 330 ° C$ ,et change de signe au dessus de $T_{0}$ . D'autre part, $e (T_{0}) = 2 \cdot 3 V$ . En déduire les valeurs de $α$ et $β$ .

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