Lois de Newton et référentiels. Lois de conservation
Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel Galiléen (2ème loi de Newton)

Enoncé de la 2ème loi de Newton

Considérons un système matériel , de centre d'inertie , de masse , se déplaçant dans un référentiel Galiléen . Si ce système n'est pas mécaniquement isolé, c'est à dire s'il subit une action non compensée, le principe d'inertie nous dit que sa quantité de mouvement ne peut pas être constante dans le temps.

Remarque

Le principe (ou relation) fondamental(e) de la dynamique nous permet de lier la cause (actions non compensées) à l'effet observé (quantité de mouvement variable). Il s'écrit:

Attention

La somme des forces extérieures appliquées à un système en translation dans un référentiel Galiléen est égale à la dérivée du vecteur quantité de mouvement du centre d'inertie de ce système.

Fondamental

Comme la masse du système est supposée constante dans le temps, il en résulte que la relation fondamentale de la dynamique peut s'écrire sous la forme:

Ceci constitue le théorème du centre d'inertie:

Théorème

Dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d'inertie d'un système matériel est le même que celui d'un point matériel coïncidant avec ce centre, point qui aurait comme masse la masse totale du système et auquel on appliquerait la somme des forces agissant sur le système.

Par la suite, nous ne nous intéresserons qu'au mouvement du centre d'inertie d'un système (correspondant au mouvement d'ensemble du système). Toute les forces extérieures appliquées au système seront donc représentées en ce point (voir figure 4).

Ce que nous venons de décrire concerne le mouvement de translation du système. Des considérations formellement identiques vont nous permettre d'appréhender le mouvement de rotation d'un système.

Figure 4 : Théorème du centre d'inertie. Le mouvement de translation du système se ramène à celui de son centre d'inertie G auquel on applique toutes les forces.

Théorème du moment cinétique

Définition du moment cinétique

Considérons un point matériel en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel Galiléen (voir figure 5).

Figure 5 : Illustration du mouvement de rotation d'un point M dans un référentiel R.

Définition

On appelle moment cinétique du point par rapport à un point fixe de l'axe , le moment de sa quantité de mouvement que l'on note :

Le moment cinétique est donc un vecteur perpendiculaire à et à la vitesse du point. C'est donc une grandeur perpendiculaire à la trajectoire du point .

Théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique est un théorème qui définit la valeur de la dérivée du moment cinétique. Dans le référentiel Galiléen la dérivée du moment cinétique s'écrit:

Il en résulte que la dérivée du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport au point :

Théorème

la dérivée du moment cinétique d'un point matériel en rotation autour d'un axe fixe passant par O est égale à la somme des moments des forces extérieures appliquées au système.

Remarque

Si le système est en équilibre (pas de rotation) alors la somme des moments des forces extérieures est nulle et le moment cinétique est nul.

Pour un point matériel il est possible d'exprimer la dérivée du moment cinétique à l'aide du moment d'inertie , par rapport à l'axe de rotation choisi, de la masse . Le moment cinétique du point matériel est égal à:

Par définition le moment d'inertie du point matériel distant de de l'axe de rotation est égal au produit de la masse de ce point par le carré de la distance à l'axe de rotation :

Il en résulte que:

Remarque

Pour un point matériel en rotation autour d'un axe fixe, on peut appliquer indifféremment le principe fondamental de la dynamique ou le théorème du moment cinétique.

Alain GIBAUD - Université du Maine Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de ModificationRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)