Dans le paragraphe précédent, nous avions supposé que toutes les projections du moment magnétique suivant la direction du champ magnétique extérieur étaient possibles.
Cependant, comme nous l'avons déjà discuté en partie, la théorie quantique montre que les projections
de
sur la direction de
sont quantifiées, et ne peuvent prendre que
valeurs entre
et
. Ainsi
et
avec
moment cinétique de norme
et
un nombre entier.
Si nous supposons valable la statistique de Boltzmann et reprenons le calcul du paragraphe précédent, le nombre de dipôles magnétiques par unité de volume dans l'état
, en présence d'un champ magnétique extérieur
vaut de nouveau, avec les mêmes notations
(
constante de normalisation et
température absolue du thermostat) mais cette fois en tenant compte de la quantification du moment
En posant
et la condition de normalisation donne, en considérant qu'il y a
dipôles par unité de volume
d'où
or l'aimantation est reliée à la valeur moyenne du nombre
qui vaut par définition
donc en substituant la valeur de
En introduisant
par tradition, pour faire ressortir le rôle de
on obtient
soit encore
avec
la fonction dite de Brillouin.
On peut vérifier qu'aux températures usuelles on a accord avec la théorie de Langevin. Pour un système de spin à deux niveaux pour lequel
par exemple
(
donc
peut prendre les deux valeurs
et
)
Comme
on peut vérifier que même pour les valeurs extrêmes de
(10 T par exemple) à température ambiante de 300K
est très faible donc
et
l'aimantation moyenne vaut donc par unité de volume
La théorie de Langevin nous avait donné
Or vectoriellement nous avions pour le moment magnétique
et donc ici
donc la théorie de Langevin conduit à
et donc au même résultat.
Remarque :
Cependant, le résultat diffère entre les deux théories pour les très basses températures.