Nous reprenons les fentes d'Young en supposant que la source qui éclaire les fentes est ponctuelle et parfaitement monochromatique (cohérence temporelle parfaite) de fréquence . Elle est située sur l'axe optique du système ce qui fait que la différence de marche qui existe au point d'observation provient uniquement de la différence de trajet optique . Nous supposons en outre que les fentes sont très fines ce qui permet de s'affranchir de la contribution de la diffraction. Nous appelons le champ scalaire au point Nous avons donc

Les champs scalaires et se déduisent des champs émis à la source en tenant compte du retard accumulé au cours de la propagation. Nous pouvons donc écrire que

avec

avec

Si l'on prend arbitrairement l'origine des phases dans le plan des sources secondaires et qui sont en phase à l'issue de la duplication de l'onde issue de , nous voyons que

Il en va de même pour le champ si l'on remplace l'indice 1 par 2.

Si l'on s'intéresse à l'intensité mesurée au point nous voyons que

Le calcul direct a déjà été fait au premier chapitre et il est facile de montrer que

avec

Nous pouvons aussi procéder de façon plus formelle en utilisant les fonctions de corrélation définies au chapitre précédent. En effet observer des interférences en un point quelconque d'un écran n'est rien d'autre que de superposer deux signaux décalés dans le temps. Comme seule l'intensité est mesurable la figure d'interférences contient directement l'information sur la fonction de corrélation entre les deux signaux qui se superposent.

Nous avons vu dans le chapitre précédent que

et nous avons à calculer . En posant , il est facile de voir que

Il s'ensuit que

En faisant apparaître le degré de corrélation il vient

Pour des fentes de même ouverture il est clair que

Si de plus la source est monochromatique, le calcul conduit à

ce qui montre que les signaux issus des deux sources secondaires et sont périodiquement corrélés.

En effet quand le point se déplace sur l'axe des en s'éloignant de l'origine, cela revient à sommer en ce point des signaux qui sont de plus en plus décalés dans le temps. Le contraste est alors maximum puisque . Cela veut simplement dire que les ondes issues de et peuvent interférer quelle que soit la différence de marche. C'est une conséquence de l'utilisation d'une source de cohérence temporelle idéale. Une telle source même ponctuelle n'existe pas et donc a fortiori elle n'existera pas non plus si elle est étendue.

Le calcul que nous venons de reprendre avait pour but de bien montrer que dans l'expérience classique des fentes d'Young, le résultat que l'on observe à l'écran dépend du degré de cohérence de la source. Jusqu'à présent seule la cohérence temporelle est prise en compte. La cohérence spatiale s'aborde en considérant une source étendue.

On peut maintenant se poser la question de savoir quelle sera l'allure de la figure d'interférences si la source est étendue. On suppose que la source possède une spectre centré sur la fréquence mais que sa cohérence temporelle est finie et inférieure au temps d'intégration du détecteur. Dans ce cas deux points voisins de la source que nous appellerons et ne présentent pas de relation de phase entre eux et l'intensité provenant du point source viendra donc s'ajouter à l'intensité venant du point source . Si l'on ne considère que ces deux points on a alors au point d'interférence

Figure 55 

Si maintenant on considère la source comme continûment étendue sur une distance nous voyons que l'intensité au point sera donnée par

Nous supposons en particulier que sur la hauteur totale de la source lumineuse l'intensité est . Pour une tranche de la source l'intensité est donc proportionelle à . Il s'ensuit que

Evaluons cette intégrale en passant à la notation complexe

soit

Ceci conduit finalement à

Il s’ensuit que l’intensité au point s’écrit alors

La figure d'interférence est donc altérée par l'extension de la source. Si l'on compare cette expression avec le résultat obtenu au chapitre précédent où nous avons démontré que

on voit que

Le facteur de contraste est donné par

(9)

En particulier, les franges deviennent complètement brouillées si . L'équation 9 montre que cette condition est vérifiée si

La figure 56 représente l'évolution du contraste (de la visibilité) des franges d'interférences en fonction de la hauteur de la source avec , , et . On constate sur cette figure qu'au delà d'une certaine valeur, les franges se brouillent.

Cette étude montre que la visibilité des franges d'interférences dépend de l'étendue spatiale de la source. Quand la source présente un diamètre angulaire très faible , les ondes issues de la source sont spatialement cohérentes.

Pour augmenter la longueur de cohérence spatiale dans un dispositif interférentiel il faut clairement diminuer le rayon angulaire de la source ce qui peut se faire en :

• diminuant la taille de la source

• éloignant la source du dispositif interférentiel.

Dans notre exemple la visibilité sera bonne si , ce qui impose comme l'indique la figure 56 une source d'extension vérifiant

Figure 57

Représentation du cheminement des rayons lumineux issus de 2 points et d'une même source jusqu'à leur superposition au point d'observation