On a continuité des composantes tangentielles des champs totaux électriques et magnétiques à chaque traversée de surface (en z=0 et z=e).
On obtient donc quel que soit le temps
E_{01}+ E_{02} = E_{03} + E_{04}
E_{03}e^{-i\phi} + E_{04}e^{i\phi}= E_{05} e^{-i\Phi}
E_{01}- E_{02} = n(E_{03} - E_{04})
n(E_{03}e^{-i\phi} - E_{04}e^{i\phi})= NE_{05} e^{-i\Phi}
Si on veut éliminer la réflexion dans le vide E_{02}=0.
En divisant les premières et troisièmes équations par E_{03} on obtient
\frac{E_{01}}{ E_{03}}=1+r
\frac{E_{01}}{ E_{03}}=n(1-r)
soit
r=\frac{n-1}{n+1}
on peut vérifier que si n=1 on n'a pas de réflexion.
En faisant de même sur les deuxièmes et quatrièmes équations on obtient
e^{-i\phi} + re^{i\phi}= \frac{E_{05}}{ E_{03}} e^{-i\Phi}
n(e^{-i\phi} - re^{i\phi}= N\frac{E_{05}}{ E_{03}} e^{-i\Phi}
soit
r=\frac{n/N-1}{n/N+1}e^{-2i\phi}
pour que les deux expressions de r soient compatibles il faut
e^{-2i\phi} = \pm 1
soit
2nke=p\pi avec p entier et e=p\lambda _0 /4n.
Dans le cas +1 on obtient n=n/N donc soit n=0 (absurde) soit N=1 (perte de généralité). Dans le cas -1 on obtient n=\sqrt{N}. On peut repréciser la condition sur e qui est e=(p'+\frac{1}{2})\frac{ \lambda _0}{2n} avec p' entier