Réponse 1
Système : la flèche soumise aux tensions des ressorts (forces conservatives) et à son poids. Le système est conservatif donc l'énergie totale se conserve.
Initialement :
(
énergie potentielle de pesanteur)
Finalement :
On obtient :
avec
Estimation de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur
avec
soit
.
La variation
est négligeable devant celle de l'énergie potentielle élastique
.
La valeur
de la vitesse de départ de la flèche :
(si on tient compte de la variation d'énergie potentielle de pesanteur on obtient
soit une erreur relative inférieur à 0,15%).
Réponse 2
Dans cette question, on supposera tout frottement négligeable.
a) En utilisant toujours le fait que l'énergie totale se conserve :
et
et donc :
b) l'accélération de la pesanteur est inversement proportionnelle à la distance au carré du centre de la Terre. On a donc, sachant que l'altitude
est très faible devant le rayon
de la Terre :
ce qui justifie de considérer
constant.
Réponse 3
a) Dans le référentiel terrestre considéré galiléen les forces agissant sur la flèche de masse
sont le poids et la force de frottement. En appliquant le principe fondamental de la dynamique :
en projection suivant l'axe verticale orientée vers le haut. D'après cette équation différentielle, la grandeur
est homogène à un temps (unité seconde).
Suivant les autres directions on aurait une accélération nulle et comme il n'y a pas de composante de la vitesse suivant ces autres directions le mouvement se fait uniquement suivant
.
Résolution :
solution particulière
et solution général de l'équation sans second membre :
soit finalement :
et à
on a
.
et donc
b) Au bout d'un temps
à
on aura pratiquement une vitesse nulle. La flèche retombe. La limite de la vitesse (pour un temps
infini) donne :
c) L'altitude
de la flèche
.
On obtient :
d)
et
. La hauteur maximale est obtenue quand la vitesse s'annule à la date
définie par :
.
L'altitude sera donc :
Finalement :
e)
. La fonction à intégrer est toujours positive et donc l'intégrale prise entre les instant
et
sera positif. Donc le travail de la force de frottement est bien négatif. Autre façon : la force de frottement s'oppose à tout moment à la vitesse c'est à dire au déplacement. Le travail est donc résistant et donc négatif.
Le travail fourni se transforme en échauffement de la pointe de la flèche et de l'air.
f) Le système constitué de la flèche dans le champ de pesanteur n'est pas conservatif. La variation d'énergie totale n'est plus nulle et correspond au travail de la force de frottement non conservative.
