Dans ce cas, les forces volumiques extérieures se réduisent à
En se plaçant en régime permanent et en supposant constante, l'intégration de l'équation d'Euler suivant une ligne de courant
conduit à :
Cette constante est caractéristique de la ligne de courant considérée, et varie d'une ligne à l'autre. Si l'on suppose en outre l'écoulement irrotationnel (
) :
où la constante est cette fois la même pour tous les points du fluide.
La relation de Bernouilli est formellement identique au premier principe de la thermodynamique : elle traduit la conservation de l'énergie mécanique des particules fluides le long d'une ligne de courant (un élément de fluide de volume
a une masse
, et donc une énergie cinétique
et une énergie potentielle de pesanteur
; ainsi,
est la densité volumique d'énergie cinétique et
est la densité volumique d'énergie potentielle de pesanteur).
Pour une généralisation à des régimes dépendant du temps, on pourra consulter le problème II (partie I).
Exemple : L'effet Venturi
Considérons le tube de Venturi représenté sur la figure 1. L'aire de la section droite est
en
et
en
(
). En régime permanent, la conservation du débit impose
, d'où
.
Par ailleurs, la relation de Bernouilli s'écrit, pour
et
de même altitude appartenant à une même ligne de courant :
On en déduit
: les régions de grande vitesse sont les régions de basse pression, et réciproquement. Ce phénomène est appelé effet Venturi.
