Un signal sinusoïdal rapidement variable
est appliqué à l'entrée du câble (figure 20). Si le câble est fermé à sa sortie sur une résistance
convenable, les ondes électromagnétiques sinusoïdales générées par le signal sont susceptibles de se propager uniquement dans le sens
dans l'espace vide compris entre les conducteurs cylindriques. On se propose de déterminer
.
La fréquence angulaire
du signal est telle que les conducteurs peuvent être considérés comme parfaits ; la propagation de l'onde se fait sans perte.
Question 1
Rappeler les équations de MAXWELL dans le vide.
Question 2
Parmi les différents modes possibles d'ondes susceptibles de se propager avec une fréquence donnée dans le câble, on envisage une onde à la fois transverse électrique et transverse magnétique. Les champs
et
n'ont pas de composante
et
et leurs composantes radiale ou orthoradiale ne dépendent que de
et
.
Compte-tenu des conditions aux limites à la surface des conducteurs parfaits, on cherche une onde qui s'écrit, en utilisant un système de coordonnées cylindriques et la notation complexe :
où
est une constante réelle positive. En se référant aux équations de MAXWELL :
a
Exprimer
et montrer que
où
est une constante ;
b
Utiliser l'équation de MAXWELL-FARADAY pour trouver une relation entre
et
;
c
En déduire à partir de l'équation de MAXWELL-AMPERE la relation qui lie
et
.
Question 3
On rappelle que l'expression générale du champ électrique
en fonction du potentiel scalaire
et du potentiel vecteur
s'écrit :
Compte-tenu de la symétrie du problème, on choisira ici
orienté suivant l'axe des
. Calculer à l'instant
dans le plan
l'intégrale
en utilisant pour
l'expression obtenue à la question précédente. En déduire
en fonction de
.
Question 4
a
Calculer la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique
en un point
quelconque entre les deux conducteurs ainsi que la moyenne temporelle du vecteur de POYNTING
au même point. A quelle vitesse se propage l'énergie dans le câble ?
b
Calculer la valeur moyenne temporelle de la puissance totale transmise par la ligne coaxiale. Sachant que l'amplitude de la tension en sortie est
, en déduire la valeur qu'il convient de donner à la résistance
. Comparer la valeur obtenue pour
à
où
et
sont respectivement l'inductance propre et la capacité calculées précédemment.
Application Numérique
Calculer
.
Formulaire :
On rappelle les expressions de
et
en coordonnées cylindriques :
