Réponse 1
Considérons un élément \DeltaS du front de congélation (la notation S est ici relative à une surface, pas à une entropie !). Pendant un intervalle de temps \Deltat, la masse de glace formée au niveau de cet élément d'aire a pour expression
\Delta^2m_{glace} = \rho_g(l(t+\Deltat)-l(t))\DeltaS = \rho_g \frac {dl(t)}{dt}\Deltat\DeltaS.
Par définition, la chaleur libérée par cette solidification est donnée par la formule
\Delta^2Q = L_g\Delta^2m_{glace}
Le flux thermique \varphi dans la direction \overrightarrowz , dont l'expression en fonction de la quantité de chaleur dégagée est
\varphi = \frac {\Delta^2Q} {\DeltaS\Deltat}
est bien égal, dans ces conditions, à la quantité donnée dans l'énoncé :
\varphi = \rho_g \frac {dl}{dt} L_g.
Réponse 2
Dans l'approximation de quasi-stationnarité, l'équation de la chaleur se réduit à tout instant
\frac {\partial^2T}{\partialz^2} = 0 \qquad \Rightarrow\qquad \frac{\partialT} {\partialz} = K^{te}(t)
Or, le gradient de la température est lié au flux de chaleur par la loi de FOURIER :
\overrightarrowq = -\lambda_g \overrightarrow\nablaT
soit, comme \varphi est la composante de \overrightarrowq suivant \overrightarrowz
K^{te}(t) =\frac {\partialT}{\partialz} = -\frac {\varphi}{\lambda_g}
Au moyen d'une nouvelle intégration par rapport à z, on obtient T(z,t) = -(\varphi/\lambda_g)z + C^{te}(t). Pour déterminer cette nouvelle constante d'intégration, il nous faut regarder les conditions aux limites associées au problème, c'est-à-dire la valeur que prend T à chacune des extrémités de la couche de glace :
\left\{\begin{array}{cc} {T(0,t) = T_S(t)}\\ {T(-l,t) = T_C}\end{array}\right.
La condition en z=-l permet de relier la valeur de la constante aux éléments mentionnés dans l'énoncé, ce qui permet d'exprimer le profil de température sous la forme :
T(z,t) = T_C- \frac {\varphi}{\lambda_g} (z+l(t)).
Réponse 3
En z=0, le contact est, comme l'a expliqué l'énoncé dans sa partie introductive, imparfait. Cela se traduit par la donnée d'un coefficient d'échange h que l'on a défini par
\overrightarrowq\cdot \overrightarrowz \vert_{z=0} = h(T_S-T_a).
Nous savons de plus que le processus se déroule de manière quasi-stationnaire, ce qui implique que le flux de chaleur vertical \varphi est constant sur l'épaisseur de la couche de glace, et donc aussi au niveau de la surface S de contact avec l'air
\overrightarrowq\cdot \overrightarrowz\vert_{z=0} = \varphi.
Finalement, on trouve par combinaison de ces deux expressions la condition en z=0
\varphi= h(T_S-T_a).