Le principe de moindre action est à l'origine de la théorie lagrangienne.

En résumé :

Une fonction de variables décrivant le système, dénommée fonction de Lagrange ou lagrangien, est élaborée. Son intégrale sur la durée donne lieu à la fonctionnelle "action" : l'intégrale d'action.

L'optimisation de cette "intégrale d'action" se traduit en conditions sur les trajectoires (et réponses) possibles du système.

La solution du problème résout ces conditions (équations) et permet de construire LA trajectoire qui minimise l'intégrale d'action.

Cette opération d'optimisation produit les équations du mouvement d'Euler-Lagrange, vérifiées par la fonctionnelle de Lagrange.

Cette théorie est énergétique par l'énoncé même de son principe : en mécanique, optimiser sur la durée une intégrale de fonctionnelle nécessite la mise en œuvre de grandeurs physiques interchangeables sur la durée : des grandeurs qui se transforment.

La fonctionnelle décrivant les mouvements du système physique, le lagrangien, est effectivement élaborée à partir des énergies.

Elle sera dérivée exactement dans les chapitres III et IV.

Ainsi en mécanique et pour un système conservatif, la fonction de Lagrange apparaît comme la différence de deux énergies : cinétique, représentative du mouvement, et potentielle, à l'origine du mouvement.

Une cause, un effet.

En mécanique, l'optimisation de l'action produit naturellement des équations décrivant le mouvement au cours du temps ; des équations qui, au final, correspondent au second principe de Newton et/ou au théorème du moment cinétique, selon le système et surtout les variables généralisées choisies pour le décrire.

Pas n'importe quelles variables :

• Des couples de variables liés par l'élément "intégrateur" de l'intégrale d'action, le temps. Ceci pour le formalisme lagrangien.

• Pour le formalisme hamiltonien, des variables canoniquement conjuguées vérifiant les règles strictes d'indépendance matérialisées par des crochets de Poisson.

Comparativement dans d'autres domaines, comme l'économie, l'optimisation des gains, la minimisation des coûts de production etc... apparaissent d'abord comme des règles d'optimisation appliquées à des fonctions de variables choisies et supposées prédominantes.

Ces variables suffisent plus ou moins à expliquer les états successifs d'un système micro ou macro-économique.

Si la représentation utilisée en micro-économie définit un lagrangien elle ne comporte ni une intégrale d'action ni un principe de moindre action, incontournable pour dériver les lois.

Cette démarche est à comparer avec la description et l'évolution des états d'un système thermodynamique.

Les fonctions thermodynamiques sont élaborées autour de grandeurs physiques, participant à la modélisation et régies par une démarche propre au physicien : construite autour de principes fondamentaux et en permanence rivée sur les expériences de transformation à l'origine de ces fonctions.

Les grandeurs physiques sont mesurées avec de plus en plus de précision et des appareillages de plus en plus sophistiqués.

Les systèmes, bien que complexes, sont ainsi mieux contrôlés en termes de conditions de réalisation, qui deviennent ainsi les hypothèses la modélisation.

Cette interaction quasi permanente des mesures avec les modèles (potentiels thermodynamiques par exemple) est donc validée prioritairement par les "hypothèses expérimentales".

Et si des lois d'optimisation existent en thermodynamique et des contrainte définies, nul lagrangien n'est défini.

L'élaboration de la fonctionnelle de Lagrange, pour les systèmes mécaniques, constitue, par sa rigueur, une articulation fondamentale avec les formalisations existantes et utilisées dans les autres domaines.

C'est la raison pour laquelle un développement détaillé est proposé dans ce cours.

Ce cheminement est utile pour expliciter les concepts sous-jacents aux lois qui seront dérivées via ces règles d'optimisation : elles pourront ainsi être validées dans d'autres domaines scientifiques, par similarité.

Avant de développer cette théorie, datant des années 1750, quelques exemples de sa mise en œuvre permettent d'en appréhender certains aspects en relation notamment avec les notions de variables généralisées, descriptives d'un système, et de formalisme énergétique.