Le postulat de la relativité galiléenne ne se prononce pas sur la description des phénomènes optiques. On admettait à l'époque que la lumière se propageait dans un milieu hypothétique appelé éther, dont on cherchait à caractériser les propriétés. Dès lors, en utilisant la transformation de Galilée, si le milieu se meut à la vitesse uniforme \vec V_e par rapport à l'observateur situé dans \mathcal{R}, une onde lumineuse se propageant dans cette même direction (éq. \vec v' = \vec v - \vec V_e \Leftrightarrow \vec v_{\mathcal{R}} = \vec v_{\mathcal{R}'} + \vec V_e}) aurait pour vitesse c \pm V_e.
Hors, la fameuse expérience de Michelson et Morley (1887) a montré que la vitesse de la lumière est isotrope dans tous les référentiels inertiels et prend la même valeur dans tous les référentiels inertiels.
Aussi dès les premiers travaux de Maxwell (1865) sur l'électromagnétisme (et donc sur la lumière, onde électromagnétique), on s'est aperçu que les équations de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide n'étaient pas invariantes par rapport à la transformation de Galilée.
Ces équations sont de la forme :
(\overrightarrow{\bigtriangledown}^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt^2} ) \Psi (x,y,z,t) = 0
où \Psi est une fonction scalaire et c la vitesse de la lumière dans le vide. Vérifions-le à une dimension spatiale. L'équation (\overrightarrow{\bigtriangledown}^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt^2} ) \Psi (x,y,z,t) = 0 s'écrit, dans le référentiel \mathcal{R} :
(\frac{\partial^2}{\partialx^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt^2}) \Psi (x,t) = 0
Soit un référentiel \mathcal{R}' en translation uniforme par rapport à \mathcal{R} à la vitesse \vec V_e = V_{ex}\vec e_x.
On supposera que la fonction \Psi est scalaire.
A titre d'exercice :
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Exprimer les coordonnées x' et t' en fonction de x et de t (appliquer la transformation de Galilée).
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Ecrire l'opération \displaystyle{(\frac{\partial^2}{\partialx^2}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partialt^2})} en fonction de x' et t'. Constater que l'opération obtenue n'est plus la même et qu'elle fait jouer à la direction de translation x un rôle privilégié : l'invariance de forme de l'équation (\overrightarrow{\bigtriangledown}^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt^2} ) \Psi (x,y,z,t) = 0 n'est pas conservée.
Réponse : (\frac{\partial^2}{\partialx'^2} - \frac{1}{c^2} + 2 \frac{V_{ex}}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt'\partialx'} - \frac{V_{ex}^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partialx'^2}) \Psi = 0
A la fin du 19ème siècle, la question posée était « fallait-il renoncer à quelque chose pour sauver l'édifice des lois de la physique ? En mécanique ou en électromagnétisme ? ». Notons dès à présent que le mathématicien Lorentz avait proposé en 1895 une transformation de passage entre \mathcal{R} et \mathcal{R}' laissant invariante l'équation (\overrightarrow{\bigtriangledown}^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partialt^2} ) \Psi (x,y,z,t) = 0, grâce à l'introduction d'un temps local : t' = t - V_{ex}x/c^2 (à une dimension).
Cette proposition fut complétée en 1905 par Poincaré.
Mais c'est Einstein qui a su comprendre et imposer la formidable remise en cause des concepts newtoniens d'espace et de temps. En 1905 il publie un article dans lequel, à partir de deux postulats, il analyse de manière approfondie les processus de mesures macroscopiques dans l'espace et le temps. Il en tire une formulation relativiste de la physique, connue sous le nom de théorie de la relativité restreinte.
