On considère un événement de coordonnées (ct, x, y, z) dans le référentiel \mathcal{R} et de coordonnées (ct', x', y', z') dans le référentiel \mathcal{R}'.
On appelle transformations de Lorentz les relations linéaires reliant ct, x, y, z à ct', x', y', z' qui laissent invariante l'équation propagation (\vec \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2}) \Psi (x,y,z,t) = 0 des ondes électromagnétiques :
x^i = \sum_k \alpha_k^i x^{k}' + X^i
Les transformations sont dites homogènes (X^i = 0) lorsque les repères et la synchronisation des horloges sont telles que :
x = y = z = ct = 0 \leftrightarrow x' = y' = z' = ct' = 0
De plus les transformations spéciales de Lorentz correspondent au cas où l'orientation relative des repères associés à \mathcal{R} et \mathcal{R}' est telle que :
V_{ex} = V
V_{ey} = V_ {ey} = 0
Ce choix n'est pas si limitatif qu'il n'y paraît puisque l'on peut toujours se ramener à cette situation par une rotation spatiale (angles d'Euler) de \mathcal{R} par rapport à \mathcal{R}'.
Nous allons traiter le cas des transformations spéciales de Lorentz homogènes :
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{c c c c} ct = \alpha_0^0 ct' + \alpha_1^0x' \\ x = \alpha_0^1 ct'+ \alpha_1^1x' \\ y = y' \\ z = z' \end{array}
Sans perdre trop de son caractère général, le problème à résoudre peut être formulé par analogie avec les équations \vec r' = \vec r - \vec V_e t et t' = t de la transformation de Galilée, qui s'écrivent ici :
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{c c} t' = t \\ x' = x - V_{ex}t \end{array}
Avec Lorentz, on écrit des relations du type :
t' = a(t - bx)
x' = k(x - V_{ex}t)
k, a, b sont des constantes à déterminer. Pour ce faire, on exprime que dans \mathcal{R} et \mathcal{R}', les carrés des distances D et D' d'un point lumineux par rapport à l'origine s'écrivent :
-
Dans \mathcal{R} : D^2 = x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2
-
Dans \mathcal{R}' : D'^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2 t'^2
En insérant les éq. t' = a(t - bx) et x' = k(x - V_{ex}t) dans la relation D'^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2 t'^2, on obtient :
k^2(x - V_{ex} t )^2 + y^2 + z^2 = c^2 a^2 (t - bx)^2
k^2(x^2 - 2V_{ex} xt + V_{ex}^2 t^2) + y^2 + z^2 = c^2 a^2 (t^2 - 2bxt + b^2x^2)
On identifie ensuite les coefficients associés aux différentes variables à ceux correspondant de l'éq. D^2 = x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2 :
k^2 - c^2 a^2 b^2 = 1
- 2 V_{ex}k^2 + 2 c^2a^2b = 0
- k^2V_{ex}^2 + c^2a^2
La résolution de ce système d'équations permet d'obtenir l'expression analytique des constantes k, a, b :
b = \beta_e/ c
k = a = \gamma_e
En conséquence de quoi, les transformations de Lorentz s'écrivent :
\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c c c c} ct = \gamma_e (ct' + \beta_ex') \\ x = \gamma_e(\beta_e ct' + x') \\ y = y' \\ z = z' \end{array}
et inversément :
\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c c c c} ct' = \gamma_e (ct' + \beta_ex') \\ x' = \gamma_e(\beta_e ct' + x') \\ y' = y \\ z' = z \end{array}
Les transformations de Lorentz peuvent être également déduites à partir de l'intervalle invariant s_{12}^2, qui sera introduit au chapitre 4.
Au niveau temporel, ces équations mettent en cause la notion de simultanéité. En effet, deux événements simultanés dans \mathcal{R}(t_1 = t_2) peuvent très bien ne plus l'être dans \mathcal{R}'(t'_1 \ne t'_2).
