On souhaite établir la formule de transformation entre les vitesses \vec v et \vec v' d'une particule A par rapport aux référentiels inertiels \mathcal{R} et \mathcal{R}'. \mathcal{R}' se déplace à la vitesse \vec V = V_{ex}\vec e_x par rapport à \mathcal{R}.
On commence par écrire les composantes de \vec v et de \vec v', en coordonnées cartésiennes, dans leur référentiel respectif:
{ \begin{array}{ c} v_x = \frac{dx}{dt} & v_y = \frac{dy}{dt} & v_z = \frac{dz}{dt} \\ \\ \end{array}
{ \begin{array}{ c} v_x' = \frac{dx'}{dt'} & v_y' = \frac{dy'}{dt'} & v_z' = \frac{dz'}{dt'} \\ \\ \end{array}
Par ailleurs en différentiant les équations \displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c c c c} ct = \gamma_e (ct' + \beta_ex') \\ x = \gamma_e(\beta_e ct' + x') \\ y = y' \\ z = z' \end{array} on a
\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c c c c} cdt = \gamma_e (cdt' + \beta_edx') \\ dx = \gamma_e(\beta_e cdt' + dx') \\ dy = dy' \\ dz = dz' \end{array}
d'où
{ \begin{array}{ c} \frac{v_x}{c} = \frac{dx}{cdt} = \frac{\gamma_e(\beta_e cdt' + dx')}{\gamma_e (cdt' + \beta_e dx')} & \frac{v_y}{c} = \frac{dy}{cdt} = \frac{dy'}{\gamma_e(cdt' + \beta_e dx')} & \frac{v_z}{c} = \frac{dz}{cdt} = \frac{dz'}{\gamma_e(cdt' + \beta_e dx')} \\ \\ \end{array}
En multipliant haut et bas par dt', il vient, après simplification :
v_x = \frac{v'_x + V_{ex}}{1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2}} \qquad v_y = \frac{v'_y}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2})} \qquad v_z = \frac{v'_z}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'x}{c^2})}
En remplacant \vec V = V_{ex}\vec e_x par \vec V = - V_{ex}\vec e_x, on obtient les expressions pour \vec v' :
v_x' = \frac{v_x - V_{ex}}{1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2}} \qquad v_y' = \frac{v_y}{\gamma_e(1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2})} \qquad v_z' = \frac{v_z}{\gamma_e(1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2})}
Notons qu'à la limite non relativiste, on retrouve bien la loi d'addition des vitesses \vec v' = \vec v - \vec V_e \Leftrightarrow \vec v_{\mathcal{R}} = \vec v_{\mathcal{R}'} + \vec V_e . On remarquera également, sans surprise, que les composantes parallèle et perpendiculaires à \vec V = V_{ex}\vec e_x n'ont pas mêmes expressions, mais de façon plus surprenante que les composantes perpendiculaires contiennent un facteur relativiste. Enfin, si dans l'expression v_x = \frac{v'_x + V_{ex}}{1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2}} \qquad v_y = \frac{v'_y}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2})} \qquad v_z = \frac{v'_z}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'x}{c^2})}, on pose v'_x = V_{ex} = c, on obtient v_x = c (vitesse limite).
